正余弦曲线在应用中的规律化技术化处理

                                        何冲  2017. 5. 18

高中数学教材对教学内容进行了合理的板块分割，也在各个板块内对内容层次，知识间联系作了系统的阐述，并提供了较为典型的解题范例。但说到应用知识解决问题的能力，教师还要在对教材有深度研究的基础上，运用智慧，引导学生观察、思考、分析、归纳，形成解决问题的实效有用的规律，才算得上是能很好地驾奴教材，甚至有超越教材的思考，体现教师工作的研究性特点。下面就正余弦曲线问题中的一些规律化处理技术谈谈个人理解方法。

一．一个最小正周期上正余弦曲线的切割处理

我们知道运用正（余）曲线解决单调性区间的问题，解决三角函数等式、不等式问题，值域问题等都运用了“见叶知秋”的方法，即将一个无界的整体性问题缩小视角，定格在一个最小正周期内的三角函数图象上解决问题，可谓妙不可言。但学生特别是像我们这类生源起点不高的学生，怎样在定义为R的正余弦曲线上取出一个最小正周期上的三角函数图象都成为问题。为此我在教学中与学生加深交流，怒力观察比较，形成一个为学生所乐于接受的规律。

其一是在正余弦曲线上选定始点（最高点或最低点除外），过该点且等值线，往右或往左至等值线与正（余）弦曲线第三个交点止则为一个最小正周期函数的图象；其二是正（余）弦曲线上的相邻两个最高点（或最低点）之间也是一个最小正周期上的函数图象。

此法简便易于操作记忆，比起不加研究，不加归纳的简单使用教材、应用时跌跌撞撞的教学显然是稳妥可靠，灵活有用。

二．应用正余弦曲线时对不同问题不同需要的区分切割

解决数学问题时手法简洁至关重要，切割函数图象时应避免使问题结论中的某一个本来可连续的单调区间断开，导致问题复杂化。

1. 求一个三角函数单调区间时，应选用两个最低点（或最高点）之间的一个周期函数图象，这样对称轴为界，一分为二，一边单调递增，另一边单调递减。如果不注意这一点，就会出现增区间或减区间断开的情况，造成麻烦。

2. 解决三角函数不等式时，也要掌握规律，合理分割

例如解三角函数不等式①；②两题时应区分分割。解①时应选用两个相邻最低点之间的周期函数图象，这样等值线上方图象才是连续的，求出区间也是连续的；②题则相反。

三．正余弦曲线及正切函数图象的对称轴、对称中心的技术化规律化处理

以正弦曲线为例，它与x轴交点都是对称中心，怎样用一个通式表示对称中心点坐标呢？用好规律，化繁难为简易。这些对称中心点是等间隔的，间隔为π，用整数k乘以间隔π加上其中一个中心点横坐标则为中心点横坐标通式。如正弦曲线的一个对称中心为（0，0）因此它的对称中心坐标通式为（kπ+0，0）；再如正余弦曲线对称轴间隔都为π，其中一条对称轴为（它靠近原点数式简单），因而正弦曲线对称轴通式为。类比此法，应用此规律，完全可以像看图说话一样说出余弦曲线、正切函数图象的对称轴、对称中心。如果不能就此问题探究规律，心生一计，就这样让学生记了又忘，忘了又记，反反复复地饱受机械记忆之苦，那是多么费事多么厌烦。作为数学老师，要切记数学本来就是研究发现这个王国中有规律性东西，掌握规律，揭示联系，筑路修桥，前途光明。相反，方法简单，生搬硬套，只会有失高明。

四．根据图象信息求和中的值的规律化技术化处理。

教材例题对这个问题的解答是应求出A、和B后将图像中一个关键点坐标代入求出，学生听了似乎在理，真正自己应用解答就出现问题了。例如代入图像平衡位置上一个点坐标后将会得到，从函数值看，会出现或两种可能，弄不好得到两种答案导致错误。事实上学生经常就是在这里犯难出错，这就要求我们教师站在深度理解教材的高度上对学生做出阐释与澄清。其一，我们求时代入的点坐标看做是五点画图法中其中一个关键点坐标。其二是要弄清代入坐标的那个点相当五个关键点中的哪一个。如果相当1号点，，相当2号点，，......另外要理解好，是由正弦曲线经过压缩拉伸及上下左右平移得来的，中的每个点都可以在正弦曲线中找得到前身，并且最高点、最低点、平衡点在变换前后仍是相应的，如最高点在图形变换后它还是变后图象的最高点，草鸡变不了凤凰。教学时还可用铁丝制成正余弦曲线，做压缩拉伸上下平移变换，观察关键点变化，把规律教学变成看得到摸得着的东西。

多年从事数学教学工作，我一直把“规律”两字当成最大的课题，并奉之至宝。数学既是非常规律化的学科，教学上以某种外在的形式去呈现其规律性是必然的，作为教育工作者，我们研究的既是能解读世间万象的规律性东西，应深入研究，领会规律中的深邃内涵，打通经脉，深入浅出，师生同建知识通途。

附正余弦曲线：