“常见几种类型的绝对值的化简”教学设计

 谷城县茨河中学   耿再军

教学内容：常见的几种类型绝对值的化简。

教学目标：通过对常见的几种类型绝对值的化简的分析和指导，让学生能并牢固掌握绝对值的化简方法，从而正确的对绝对值进行化简。

教学重、难点：化简绝对值既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点。

教学方法：对常见的几种类型绝对值的化简的分类分析和指导。

教学过程：

一、教学回顾：什么叫绝对值？它是如何定义的？

——— “在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”也就是说数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“－a” ），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。  

二、探究新知：掌握常见几种类型的绝对值化简。

    1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的三种情况，便能快速去掉绝对值符号。

当a>0时，︱a︱=a    (性质1：正数的绝对值是它本身) ； 

当a=0 时，︱a︱=0    (性质 2：0的绝对值是0) ； 

当 a<0 时，︱a︱=－a  (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。

例如，︱3︱=3  ，︱0︱=0   ，︱-5︱=5.

2、 对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的三种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 

当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b    (性质1：正数的绝对值是它本身) ；

    当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0      (性质 2：0的绝对值是0)； 

当 a+b<0 时，︱a+b︱=－(a+b) =－a－b  (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 

例如：

︱π+1︱=π+1                  （π+1 ＞0）；

︱π+（-π）︱=  0 ，           [π+（-π)=0 ]；

︱ -3.2+π ︱ = -（-3.2 +π）      (-3.2+π＜ 0 ).

3、对于形如︱a－b︱的一类问题 同样，仍然要把a－b看作一个整体，判断出a－b 的三种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大－-小︱=︱小－大︱=大－小，所以当a>b时， ︱a－b︱=（a－b）= a－b，︱b－a︱=（a－b）= a－b 。

    口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 

例如：

︱π- 1︱=  π-1            （π-1 ＞0 ）；

︱π-π︱=  0             （π-π=0  ）；

︱π- 4︱= -（π-4）        （π-4＜ 0 ）.

4、对于数轴型的一类问题， 根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a－b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a－b︱=（a－b）=a－b，

︱b－a︱=（a－b）=a－b 。

例如，a、b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a|+|b|+|a+b|+|b-a|.

∵ a在数轴上原点的右边大于0，且与原点较近，b在数轴上原点的左边小于0，且与原点较远，

∴   a ＞0 ,     b ＜ 0,    a+b ＜ 0,    b-a ＜ 0,

再利用绝对值的性质便有:

|a|+|b|+|a+b|+|b-a|

 =a-b-(a+b)-(b-a)

5、反过来，知道绝对值化简后的结果，去判断绝对值内的数与0的关系的类型

例如，│a-b│= a-b,这里a-b ≧ 0;│a-b│= -(a-b),这里a-b ≤ 0.特别提醒要注意理解:这与之前讲的绝对值的性质的区别并掌握它。

（1）、若 │a-b│= a-b ,     则 a-b≧0；

（2）、若 │a-b│= -（a-b）,   则 a-b≤0.

通过学习，我们的收获是：

1、化简绝对值，就要抓住绝对值内的数与0的关系，如果绝对值内的数大于或等于0，则化简后就将绝对值符号改为括号，如果绝对值内的数小于或等于0，则化简后就将绝对值符号改为括号，并在括号前面添上“ - ”号。

2、 强调指出对于绝对值符号前有正、负号的化简  ，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。

3、绝对值的化简：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。