作业标题 ：平方差公式 作业周期 : 2017-11-01 — 2017-12-31
作业要求 ：
一、内容和内容解析
平方差公式这一内容属于数学再创造活动的结果，它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起作十分重要的作用，因此，它是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容，它是让学生感悟换元思想，感受数学的再创造性的好教材.
学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识结构，通过创造问题情境，让学生在探究相应问题，建立并运用公式从而拓展学生知识技能结构成为可能.
但是，由于学生初次学习公式，只有原始的的换元思想，虽然在学习过程中有进一步的感悟和深化。同时，在运用公式时，认清结构不易，而且本课节所学的公式运用仅是局部的，因此，教学时不可拨高要求追求一步到位，而应在今后滚动式逐步达到灵活运用的目的，使之与学生的知识结构同步发展完善.
基于上述分析，确定本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算，关键是“认清结构，找准a、b”
二、目标和目标解析
1、经历探索平方差公式的全过程。即由都引导，学生自主探索归纳出平方差公式，并能从理论上推导证明，及几何意义上理解，明确公式的正确性。
2。理解平方差公式的结构特征，并能进行简单的运算。即要通过多个具体的乘法算式，分析出它们的共同点，其本质属性是什么，能清楚地知道公式中的a、b各代表什么。并在练习中与所运用的公式结构特征联系起来分析解答题目。
3、在探索平方差公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的能力，体会归纳、建模、数形结合，数式通性、转化等思想，即在重点探索平方差公式的过程中，让学生能够认识到从具体到抽象，从特殊到一般，找寻规律，自我归纳，建立解决同类问题的模型，并能从形上理解公式的成立。
三、学生认知基础有：第一，初一学生已有用字母表示数的基础，第二，配合前面学习有多项式乘法的基础，但本节课所给特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特征的特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握（如字母表示负数，多项式等）在乘法公式的灵活运用时常发生多种错误，如符号错误；系数不平方
四、教学支持条件分析
利用多媒体展示教学的部分环节，如创设情景，公式的几何意义等。从而支持课堂教学。
五、教学过程设计
（一）创设情景
一个星期天的早上，小明和妈妈去买菜，看到了他最喜欢吃的鱼，单价5.2元/斤。他选了一条称重4.8斤，重量报出后，妈妈就一口说24.96元。小明觉得很惊讶，妈妈说的钱数竞和计算器算的一模一样。你知道是怎么算得这么快吗？
【目的】从实际出发创设情境，使学生能够将实际生活问题转化为数学问题来解决，增强学习运用数学的意识，更加激发学生的求知欲。
（二）自主探究
活动1：计算下列多项式的积，回答问题
(1)观察每个算式的结构有什么共同点？
(2)每个结果的结构又有什么共同点？
(3)能不能用字母表示出你的发现？
平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差
【目的】在教学中，以一组具备平方差公式特点的式子出发，由学生自己动手计算，通过观察每一个式子的结果，可以发现由前面学过的计算方法，得到一种简单的运算方法，再比较每个算式形式，挖掘题目间的共性，发现规律，从而猜想公式。在活动中让学生养成观察、发现、总结的学习习惯。
活动2：
(1)在式子①
【目的】通过前面总结的公式特点，通过这一组练习题，可以使学生更能进一步理解平方差公式中的a与b，强调在实际运用中，两个因式可以交换顺序，a、b可以是一个负数、一个字母，还可以是一个多项式。这要在实际计算中加以对照。
(2)填一填
思考1：平方差公式中的a、b可以代表什么？
思考2：如何准确、快速的找到各式中的a、b值？
【目的】此处设计是让学生能在各种形式中，迅速、准确的判断公式中的a、b值各代表的是哪个式子。从而让学生巩固平方差公式。此题由学生抢答，这样更能提高学生的学习兴趣。
（三）剖析公式
活动3：验证公式：
方法一：
方法二：
【目的】此处用了两个方法验证了平方差公式是成立的。在前面只是给学生的一种猜想，现在可以明确平方差公式的一般性。
（四）巩固新知
活动4：
例1：运用平方差公式计算：
(1)
(2)
(3)
【目的】第(1)题是直接运用平方差公式，让学生能够通过这个题目的讲解，清楚如何在计算中找到平方差公式中的a与b值。（2）题将相同项的部分改为一个负数形式，这样是让学生区分公式中的形式特点。（3）题的应用就较为复杂，先要分清a和b，然后再将式子转化为平方差公式的形式，最后再计算。
【目的】通过这一组练习，巩固平方差公式的基本特点，在后面的运用中相信学生会更加得心应手。
【目的】此处三题的设置要比例1中的题目稍难一些
练习：
（五）回顾小结
活动5：本节课的学习中，你获得了哪些知识与技能？
一个公式：平方差公式
两种思想：转化和数学结合。
（六）布置作业
1.必做题：教材P156 T1
2.选做题：请3位学生，每位学生写出一个自己最喜欢的个位数。其他同学计算100与这个数的和以及100与这个数的差的乘积。比一比哪个同学算的最快。并且告诉我们计算方法。
六、目标检测设计
一、填空题
1. (x+4)(－x+4)=_____, (2a+b)(2a－b)=_____,
(－m－n)(_____)=m2－n2
2. 98×102=(_____)(_____)=( )2－( )2=_____.
3. (a－b)(a+b)(a2+b2)=_____.
4. (xy－z)(z+xy)=_____,( x－0.7y)(
x+0.7y)=_____.
5. 下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是(
)
A.(x+y)(－x－y) B.(2x+3y)(2x－3z)
C.(－a－b)(a－b) D.(m－n)(n－m)
6. 下列计算正确的是( )
A.(2x+3)(2x－3)=2x2－9 B.(x+4)(x－4)=x2－4
C.(5+x)(x－6)=x2－30 D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b2
7. 下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是(
)
A.(－a－b)(－b+a) B.(xy+z)(xy－z)
C.(－2a－b)(2a+b) D.(0.5x－y)(－y－0.5x)
8. (4x2－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( )
A.－4x2－5y B.－4x2+5y
C.(4x2－5y)2 D.(4x+5y)2
9. 计算(2x－3y)(3y+2x)－(4y－3x)(3x+4y)
10. 计算(x+y)(x－y)－x(x+y)
11. 计算1.03×0.97
12. 2003×2001－20022
七、教学反思
本节课我的设计理念是：遵循“教学、学习、研究”同步协调的原则，重组教材，恰当地创设情境、激发学生对数学的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断发现和提出问题，分析并创造性地解决问题，教师为学生构建开放的学习环境引导学生体验探索、研究的过程，通过学生的再发现、再创造活动，体验“数学化”的过程，使学生在领悟数学对象本质的同时，真正经历知识的“生长过程”.
本教学过程以情境问题为导引，通过提供挑战性的问题与同学和老师比一比运算速度. 调动学生学习和探究的积极性，从而使学生有了问题的发现与提出的自觉意识，在这里我呈现的不仅仅是静态的数学知识，与学生已有的数学知识的发展水平相适应，让整节课体现的数学情境里数学问题产生的土壤，本课给予学生充足的时间和空间，师生互动，放手让学生带着问题运算、探究，使学生的能力培养情感产生与知识的形成相伴而行.
让学生在探究合作交流的过程中，展示思维过程，让学生的思维全过程得到充分暴露，学生在再发现、再发明的过程中，思维火花发生强烈碰撞，数学结论的发现、生成为自然的事情.
；不能准确运用公式
只了解公式的表面形式，而未掌握公式的本质。故本节课的难点定为：理解乘法公式的结构特征，并能灵活的运用平方差公式。
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②
③
④
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的有____________(填序号)
发布者 ：付松涛
提交者:学员周玥 所属单位:谷伯中学 提交时间: 2017-11-30 13:09:47 浏览数( 4 ) 【举报】
《乘法公式──平方差公式》教案
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教学目标 |
知识技能 |
认识平方差公式并了解公式意义,会用平方差公式简化计算解决简单的实际问题。 |
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数学思想 |
了解化归思想与数形结合的数学思想。 |
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情感态度 |
发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣，创设研究式与合作交流的学习气氛。 |
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教学重点 |
理解并运用平方差公式,计算并解决数学问题。 |
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教学难点 |
理解公式中字母的广泛含义，并运用公式与几何图形结合。 |
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教学手段 |
多媒体辅助教学。 |
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教学方法 |
启发式各讨论式相结合。 |
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教学过程：
（一）情景引入
你能快速的口算出下列式子吗？
102×98
并复习多项式与多项式相乘的法则
（二）自主探究
【算一算】：计算下列各式你能用字母把这个特征表示出来吗？
(1)（x+1)(x-1) (2)(m+2)(m-2） (3)（2x+1)(2x-1)
各式的答案：
【做一做】：1.观察多项式各式,它们有什么特征? 多项式的特征：两个数的和乘以这两个数的差
2.请你观察它们的运算结果,你发现了什么规律?
结果的规律：是这两个数的平方差
【猜一猜】：观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？把你的发现和同学进行交流,能用字母把这个规律表示出来吗？你能将猜测的这个结论写成公式吗?
学生自主探究自主得出结论
规律： 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
（a+b）(a-b) =a2-b2
（三）验证猜想
【代数验证】：运用乘法分配律将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，进一步体会转化的思想，从而验证猜想。
(a+b) (a-b)=a(a+b)-b(a+b)=a2+ ab - ab - b2= a2- b2
【归纳公式】：得出平方差公式：(a+b) (a-b)=a2 - b2
学生活动：尝试用所学知识验证这一猜想，并用自己的语言叙述平方差公式。
【几何验证】
在一块边长为a 的正方形纸板上，因实际需要在一角上剪去一块边长为b 的正方形，剩下部分的面积是多少？
方法一：用大正方形面积减去小正方形面积，即a2-b2
方法二：割补法。可以把剩下的部份分割成两个矩形，然后拼成一个矩形来计算。得到新矩形的面积为(a+b)(a-b)
利用面积相等推得平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2
学生活动：教师启发引导，演示剪拼动画，学生动脑思考。
（四）公式分析
使用平方差公式可以简化运算，那什么样的多项式相乘才能用平方差公式来计算呢？也就是说，平方差公式具有什么样的特征？
（1）公式的结构特征：
左边是两个二项式相乘；在两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
右边为相同项的平方减去互为相反数的项的平方.
（2）字母的广泛含义：
公式中的a，b可以表示数，也可表示单项式或多项式（即a，b表示代数式），只要符合公式的结构特征，就可用此公式来计算。
学生活动：尝试用语言来叙述，总结公式的结构特征，并加以理解掌握，以便能够准确运用。
（五）知识运用
【试一试】：寻找a，b
现在我们已经知道什么样的运算可以用平方差公式来做了，那么下一步的关键是要解决什么问题？运算的结果是a2-b2，要套用公式，必须要知道谁是a，谁是b。
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（a+b)(a-b) |
a |
b |
a2-b2 |
最后结果 |
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（2+y)(2-y) |
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(1+5b)(1-5b) |
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(2m+3n)(2m-3n) |
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(-x+1)(x+1) |
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反思：如何寻找a，b？
两个多项式中，a前的符号相同，b前的符号相反。找a，b的关键是找符号相同的项和符号相反的项。谁是a，谁是b，并不以先后为准，而是以符号为准。
学生活动：思考，口答，填充表格，总结规律。
【练一练】：运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b);
(3) (-x+2y)(-x-2y).
学生活动：独立练习，并有同学上台板演。
【想一想】：判断正误
(1) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 (2) (-a+b)(a-b)=-a2-b2
(3) (2x+3)( 3-2x)=2x2-9 (4) (y3+z3)( y3-z3)= y9-z9
(5) (x2+y)( x-y2)=x3-y3
学生活动：独立思考，举手回答，在疑难处进行适当讨论。
【想一想】：思维拓展
在(-3a+2b)( )的括号内，填入怎样的式子，才能用平方差公式计算。
问题解决：解决情景引入中的问题。
（六）反思小结
【议议说说】：本节课你学到了什么，你能给自己和同学一个客观的评价吗？
学生活动：认真回顾，总结本节课所学到的知识及数学思想方法并对自己和同学进行评价。
（
（七）、课外作业：P156 1 以及 p p t中的探究题和选做题
教学反思
这一课时的重点是要学生明白平方差公式的推导，并能应用平方差公式简化运算。而其中的关键是要学生明确平方差公式的结构特征，准确找到a、b。为了让学生对平方差公式有个全面的认识和了解，我在教学设计方面打破了教材原来的安排，把第二课时中的几何解释融入第一课时。先让学生从代数的角度入手，利用多项式乘多项式的知识，推导出平方差公式，紧接着从几何角度加以解释。在此基础上，通过分析公式的结构特征，加深对公式的理解。之后，设计了一个“寻找a、b”的环节，通过这个练习进行难点突破。引导学生反思练习过程，得出“谁是a，谁是b，并不以先后为准，而是以符号为准”这一结论。紧接着给出两组例题，考察学生对公式的应用。最后通过一组判断题和补充练习，拓展学生的思维水平。