第二十一章 一元二次方程

21．1 一元二次方程

金俊顺

【教学目标】

1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．

2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．

【重点难点】

1.      教学重点

通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax²＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．

2．教学难点

一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．

【教学过程】

活动1 复习旧知

1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？

2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式．

(1)2x－1=0 (2)mx＋n＝0 (3)x(1)＋1＝0 (4)x²＝1

3．下列哪个实数是方程2x－1＝3的解？并给出方程的解的概念．

A．0    B．1    C．2    D．3

活动2 探究新知

根据题意列方程．

1．教材第2页 问题1.

提出问题：

(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？

(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？

(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程．

2．教材第2页 问题2.

提出问题：

(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？

(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？

(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？

3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．

提出问题：

本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？

4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？

活动3 归纳概念

提出问题：

(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？

(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？

(3)归纳一元二次方程的概念．

1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式是ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

提出问题：

(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？

(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？

(3)2x²－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？

3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．

活动4 例题与练习

例1 在下列方程中，属于一元二次方程的是________．

(1)4x²＝81；(2)2x²－1＝3y；(3)x2(1)＋x(1)＝2；

(4)2x²－2x(x＋7)＝0.

总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．

例2 教材第3页 例题．

例3 以－2为根的一元二次方程是(  )

A．x²＋2x－1＝0  B．x²－x－2＝0

C．x²＋x＋2＝0  D．x²＋x－2＝0

总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．

练习：

1．若(a－1)x²＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．

2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．

(1)4x²＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.

3．教材第4页 练习第2题．

4．若－4是关于x的一元二次方程2x²＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．

活动5 课堂小结与作业布置

课堂小结

我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？

作业布置

教材第4页 习题21.1第1～7题