发布者： 贾晓兵 所属单位：漯河市实验中学 发布时间：2023-09-13 浏览数( -) 【置顶】 【推荐】 【举报】
凹四边形常用性质解题攻略
你喜欢的数学，我恰好有。是一乐事。
在初中数学人教版八年级上册第十一章三角形一章中，11.1.2三角形的高、中线与角平分线（第4页）和11.3.1多边形（第19页），我们经常会遇到一类题目：凹四边形性质的应用。什么是凹四边形呢？如下图：
我们平常所说的图形一般是指凸四边形。
所谓凸多边形，就是把一个多边形任意一边向两方无限延长成为一条直线，如果多边形的其他各边均在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形。 把一个多边形任意一边向两方无限延长成为一直线，如果多边形的所有边中只要有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形。上图就是凹四边形ABPC，凹多边形有一个或多个内角大于180度。
凸多边形 凹多边形
在人教版数学八年级上册第十一章三角形的题目中，有很多涉及凹四边形的题目，用到凹四边形的性质。凹四边形的性质是：在凹四边形ABPC 中，
∠BPC=∠A+∠B+∠C
证明如下：
证明一：
我们知道，四边形的内角和是360º，而凹四边形ABPC中，以P为顶点的内角（大于180º的那个角），加上∠BPC等于360º。所以∠BPC=∠A+∠B+∠C
证明二：连接AP并延长至D
∵ ∠BPD=∠B+∠BAP
∠CPD=∠C+∠CAP (三角形外角性质)
∴ ∠BPC=∠BAC+∠B+∠C .
性质推广：
1.如图，
BD平分∠ABC, CE平分∠ACB。BD、CE交于点P.则：
∠BPC=½∠A+90º
证明：在凹四边形ABPC中，
∠BPC=∠BAC+∠ABP+∠ACP
∵BD平分∠ABC, CE平分∠ACB
∴∠ABP=½∠ABC ,
∠ACP=½∠ACB.
∴∠BPC=∠BAC+∠ABP+∠ACP
=∠BAC+½∠ABC+½∠ACB
=½∠BAC+(½∠BAC+½∠ABC+½∠ACB)
∴ ∠BPC=½∠A+90º
2.如图，
△ABC中，CE⊥AB，垂足为E, BD⊥AC，垂足为D. BD和CE交于点P,
则：∠BPC+∠A=180º
证明一：∵CE⊥AB, BD⊥AC
∴∠AEC=90º ∠ADB=90º
∵四边形AEPD内角和等于360º
∴∠A+∠AEP+∠EPD+∠PDA=360º
∴∠A+90º+∠EPD+90º=360º
∴ ∠A+∠EPD=180º
即 ∠A+∠BPC=180º
证明二：
∵在凹四边形ABPC中
∠BPC=∠BAC+∠ABP+∠ACP
又∵在直角△ABD和直角△ACE中
∠A+∠ABP=90º
∠A+∠ACP=90º
∴∠A+∠BPC=∠A+∠ABP+∠A+∠ACP
=90º+90º
=180º
学以致用
1. 如图，已知△ABC 中，∠A=60°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于点F，∠FBC、∠FCB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为 ．
2．已知：如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．
3．如图，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．
若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数
4.五角星ABCDE中，求证：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180º
提示：凹四边形ACPD中，∠CPD=∠C+∠A+∠D;
△BPE中，∠B+∠E+∠BPE=180º
∠CPD=∠BPE.
课本习题
1.人教版八年级数学上册第17页第8题
2.人教版八年级数学上册第17页第9题
3.人教版八年级数学上册第29页第11题