分数四则混合运算

[教学内容]《义务教育教科书·数学（六年级上册）》74～75页。

[教学目标]

1.结合具体情境，引导学生借助线段图，分析较复杂分数应用题的数量关系，并能解决简单的分数实际问题，掌握分数四则混合运算的运算顺序，理解整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并能应用这些定律进行一些简便计算。

2.在观察、迁移、尝试练习、交流反馈等活动中，培养学生的推理能力及思维的灵活性，发展学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力。在解决问题的过程中，进一步体会数学知识间的内在联系，增强思维的深刻性。

3.在解决分数实际问题的过程中，通过自主探究、尝试迁移、合作交流的学习情境，感受数学与生活的密切联系，体会学习数学的乐趣。

[教学重点] 掌握分数四则混合运算的运算顺序和运算定律，能够灵活、准确、合理地行计算。

[教学难点]能够正确分析较复杂分数问题的数量关系。

[教学准备]教具：多媒体课件。

[教学过程]

一、创设情境，提出问题

课件出示“中国的世界遗产”——关于天坛、故宫、长城的情境图（见图1）。

学生观察情境图，发现信息，提出问题。

预设1：北京故宫占地面积为多少公顷？

预设2：长城中人工墙体和山险墙一共长多少米？           

【设计意图】本环节围绕“中国的世界遗产”这个大的情境串导入新课，增加学生对天坛、故宫、长城课外知识的认识，让学生体会到数学就在我们身边，同时激发了学生的学习兴趣。

二、自主探究，构建模型

（一）弄清题意，分析关系

组织学生先来解决“北京故宫占地面积为多少公顷？”

引领学生深入读题，理解题意后，放手让学生独立分析数量关系、解决问题。

学生自主探究，教师巡视指导，收集交流素材。

（二）交流方法，构建模型

师：谁来说说你是怎么做的？注意要说清解题思路。

预设1：272×4(1)=68（公顷）68+4＝72（公顷）先求天坛公园占地面积的4(1)，再加上多的4公顷，就是北京故宫的占地面积。

预设2：272×4(1)+4，天坛公园占地面积的4(1)+4公顷就等于北京故宫的占地面积。

结合学生回答，追问：比较两种方法，有什么相同之处和不同之处呢？

学生思考后，教师组织学生交流，明确：不同之处是一个是分步，一个是综合算式计算；但采用的数量关系是相同的，都是用“天坛公园占地面积的4(1)+4公顷=北京故宫的占地面积”，都是先求“天坛公园占地面积的4(1)是多少公顷”。

【设计意图】理解题意、分析数量关系，明确解题思路是解决问题的关键。教学中，我们要突出学生已有经验，给学生充足的空间，独立思考，自主探究，分析出数量关系，从而使学生对于北京故宫的占地面积与天坛公园的占地面积的关系更加清晰，也能培养学生有条理地思考问题的能力，为理解运算顺序打下基础。

（三）借助关系，体会顺序

师：你能利用已知的数量关系计算272×4(1)+4吗？（思考运算中，应先算什么，再算什么？）

预设：272×4(1)+4  

     =68+4

     =72（公顷）

师：观察综合算式，你知道在混合运算中，应先算什么，再算什么？

预设：两级混合，先乘除，后加减；同级运算，从左到右，依次计算。

师：它和整数四则运算的运算顺序有什么关系？

预设：整数的运算顺序同样适用于分数混合运算。

【设计意图】学生借助已有计算经验和分析的数量关系，计算272×4(1)+4并不困难，此时，给予充分的思维空间和选择余地，激励学生去发现、去创新，展示解题思路，学生能水到渠成的理解分数乘加混合运算的顺序。强化对比，建立联系，学生在迁移中发现整数四则混合运算的运算顺序同样适用于分数四则混合运算。

（四）类比推理，画图分析

师：你能类比刚才我们解决问题的方法，来尝试解决“长城中人工墙体和山险墙一共长多少米”吗？

大胆放手，学生分组合作， 提示：先尝试用直尺画线段表示人工墙体，山险墙和长城的长度，分析出数量关系式后，再解答。

组织学生交流画图的方法，并分析数量关系。                                              

课件出示线段图。（见图2）

交流算法，预设：

解法一：先算人工墙体和山险墙各长多少千米，再算共长多少千米。                             

8800×10(7)+8800 ×4(1)

=6160 + 2200

=8360 （千米）

解法二：先算人工墙体和山险墙共占长城全长的几分之几，再算长城中人工墙体和山险墙一共长多少千米？

8800×（10(7)+4(1)）

=8800×20(17)

=8360（千米）

学生借助线段图同桌充分交流，明晰思路。

小结：在解决实际问题时，借助线段图，可以让我们一目了然地获取相关的信息和问题，直观形象地了解到各信息与问题之间的数量关系，这种数形结合的方法也是解决问题的一种重要策略。

（五）质疑提升，得出规律

师：想一想，在计算中先算什么,再算什么？比一比，这两种算法中的算式，你有什么发现？

引导学生回顾算理、总结规律，明确：整数四则混合运算的运算顺序同样适用于分数四则混合运算，整数的运算定律同样适用于分数运算。

【设计意图】线段图具有直观性、形象性、实用性，因此，本环节让学生借助线段图进行分析，意在使学生在数形结合中学会数学的思考，培养学生画图解题的意识和良好的画图技巧。对比两种解题方法，学生在感知算理中自然将分数与整数的运算律沟通，发现整数的运算定律适用于分数运算，发展学生的抽象概括能力和初步的演绎推理能力。

三、巩固应用，拓展提高

    1.先说说每道题的运算顺序，再计算。（教材P75第3题选4道）

    1＋3(5)×10(9)   　　　　　　　　8(7)×5(4)＋5(1)÷4(1)　

        8(3)÷（4(3)－6(1)）　           　12(5)×5(3)÷2(1)　　　　　　　　　

2.解决问题。（教材P75第1题）

小明从“空中课堂”的网页上下载了30首古诗。小红下载的古诗数比小明的3(2)多3首，小红下载了多少首古诗？

3.解决问题（见图3）。（教材P75第2题）

沈阳故宫已被列入世界文化遗产，它的占地面积比北京故宫的8(1)少3公顷。北京故宫占地约72公顷，沈阳故宫占地多少公顷？

4.解决问题（见图4）。（教材P76第7题）

苏州古典园林始于东晋，全盛时期多大200处，目前保留下来的只占4(1)。已对公众开放30处，还有多少处没开放？                         

【设计意图】 本环节将计算与解决问题有机结合，利用学生已有的知识经验，体会分数四则混合运算的运算顺序，体验数学知识的内在联系，学生能更好地体会到计算是解决实际问题的需要，增强学习计算的内在需要。同时渗透我国古典园林建筑的历史，增强学生的民族自豪感。

四、抽象概括，总结提升

组织学生谈收获，在此基础上总结提升：这节课大家自主发现了分数四则混合运算的运算顺序，以及和整数四则混合运算之间的联系。在解决问题的过程中，能发现问题，提出问题，并能运用线段图来理解题意、分析数量关系，在理清思路的基础上独立解决问题。在此过程中，我们不但感受到解题的乐趣，更为祖国的世界遗产感到自豪。希望大家在祖国的历史文化中发现更多的数学问题。

【设计意图】通过全课小结，全面回顾本节课学到的知识、方法和体验感受，使学生在获得数学知识的同时，感受数学学习方法和学习乐趣，提升梳理概括知识的能力，初步形成建构知识的意识。