课题：三元一次方程组

l       教学目标：

知识与技能目标：

1.   能正确说出三元一次方程（组）及其解的概念，能正确判别一组数是否是三元一次方程（组）的解；

2.   会根据实际问题列出简单的三元一次方程或三元一次方程组。

过程与方法目标：

1.       通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识。

2.       能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力，了解辩证统一的思想。

情感态度与价值观目标：

1.   通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。

l       重点：

1.       掌握三元一次方程及三元一次方程组的概念，理解它们解的含义；

2.      判断一组数是不是某个三元一次方程组的解. 

l        难点：

从实际问题中抽象出三元一次方程组的过程，体会数学方程的建模思想。

l       教学流程：

一、             课前回顾

在横线上分别填上“元”、“次”、“二元”、“一次”的含义

二、             情境引入

探究1：已知甲、乙、丙三个数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数。

同学们，有三个未知量，应该怎么办呢？

甲数+乙数+丙数=23

甲数=乙数+1

2×甲数+乙数=丙数+20

设甲数为x，乙数为y，丙数为z

   根据题意，可得三个方程：

x+y+z=23     ①

x=y+1           ②

2x+y-z=20    ③

观察方程①、②、③你能得出什么？

结论：二都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.

这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成

x+y+z=23     ①

x=y+1           ②

2x+y-z=20    ③

     总结：这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.

练习1：1.（多选）下列方程组中，是三元一次方程组的是（AB  ）

2.下列方程组中是三元一次方程组的是（ A   ）

A.  B.   C.  D.

探究2：1、解二元一次方程组的方法有哪些？

   代入消元法      加减消元法

 2、解二元一次方程组的基本思路是什么？

             消元

提问：怎样解三元一次方程组？

归纳：三元一次方程组求法步骤：

1.化“三元”为“二元”

2.化“二元”为“一元”

解答：1 .   化“三元”为“二元”

将②代入①和③中，得二元一次方程组

2y+z=22  ④

3y-z=18    ⑤

2.   化“二元”为“一元”

④+⑤得

5y=40

Y=8

将y=8代回①、 ②和③中，得

X=9

Y=8          

Z=6

所以，甲数为8，乙数为8，丙数为6

练习2：

  1、解方程组  的解是（  A   ）

A、     B、   C、  D、 

2、下列四组数中，适合三元一次方程组2x-y+z=6的是（ C    ）

A、x=1,y=-1,z=-3     B、x=1,y=1,z=4

C、x=0,y=0,z=6       D、x=-1,y=1,z=3

       3. 如果与是同类项，求，，的值．

   解：根据题意得，解得．

三、合作探究

    探究3：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.

       问题中含有几个未知数？有几个相等关系？

    分析：（1）这个问题中包含有  3  个相等关系：

1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张，

1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍，

1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元.

    （2）这个问题中包含有 3  个未知数:

1元、2元、5元纸币的张数.

根据等量关系列出方程

设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张.

根据题意，可以得到下面三个方程：

x+y+z=12

x=4y

x+2y+5z=22

将②代入①和③中，得二元一次方程组

5y+z=12  ④

6y-5z=22    ⑤

由④得

z=12-5y  ⑥

将⑥代入⑤中得

 Y=2

将y=2代回①、 ②和③中，得

X=8

Y=2          

Z=2

所以，1元为8张，2元为2张，5元为2张

练习3：

 1. 若，则_15_______．
      提示：根据题意得, 解得，所以．

2、若    ，则  的值是             .

解：设  =k，则x=2k,y=3k,z=4k,

将它们代入代数式：                     

 = =

 四、达标测评

1、含有三个不同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是  1    ，并且一共有 3    个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组.

2、解三元一次方程组的基本思路：通过“代入 ”或“加减  ”，进行消元，把它转化为二元一次方程组或一元一次方程.

3、解下列方程组：

（1）解：①×2-②，得     5x+3y=19  ④

       ②+③×2,  得     5x+7y=31  ⑤

     由④和⑤组成方程组

          解这个方程组，得

      把 x=2,y=3代入②，得

                 2+3+2z=7

         所以           z=1  

         因此，原方程组的解为

（2）解：由方程①得 4x-3y=0    ④

        由方程②得 6y-5z=0    ⑤

        ③×4-④得 7y-4z=88  ⑥

        由⑤和⑥组成方程组    

        解这个方程组，得

        把y=40,z=48代入③，得

         x+40-48=22      所以   x=30

        因此，这个方程组的解为

4.已知关于x，y，z的三元一次方程ax+by+5z=26有两个解  和      ，求a，b的值

解：将两个解代入方程可得

                    解得

五、应用提高

   某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的 ，厂家需付甲、丙两队共5500元.

（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花费最少？请说明理由.

解：（1）设甲、乙、丙队每天完成工作量分别是

x,y,z，依题意有

    即            解得

答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程，分别需要10天，15天和30天.

（2）设每天付给甲队a元，乙队b元，丙队c元，根据题意得

     即

解得

即10a=8000（元）15b=9750（元）

因为丙队完成全部工程的期限已超过15天，所以不可能被聘用.又因为甲队完成全部工程需花8000元，而乙队完成全部工程需花9750元，所以应选择甲队完成此项工程.

答：由甲队完成此项工程花钱最少.

六、体验收获

1.什么是三元一次方程

2.什么是三元一次方程组

3.三元一次方程组的解法

七、布置作业

教材132页习题第2、3题。