1.3三角函数的有关计算

教学目标

知识与能力目标

   能够用计算器进行有关三角函数值的计算.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.

过程与方法目标

    经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程.进一步体会三角函数的意义；借助计算器，解决含三角函数的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力，发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力.

情感与价值观要求

    通过积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐. 感悟计算器的计算功能和三角函数的应用价值

教学重点、难点

    用计算器由已知锐角求三角函数值及用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.

教学过程

    创设问题情境，引入新课

    随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10 m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?

  解：在Rt△ABC中，BC=10 m，AC＝40 m，

    sinA＝BC/BA=1/4.可是我求不出∠A.

   问题：我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗?为什么?

    根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的，当然∠A的大小也是唯一确定的.

    我们知道了sinA=1/4时，锐角A是唯一确定的.现在我要告诉大家的是要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器来完成.这节课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.

师生互动、学习新课

    1.用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.

已知三角函数求角度，要用到 、键的第二功能Sin、cos、tan和2ndf 键.

键的第二功能 “sin^-1,cos^-1,tan^-1”和  2ndf键

    例如：已知sinA=0.9816，求锐角A，

    已知cosA＝0.8607，求锐角A；

    已知tanA：0.1890，求锐角A；

    已知tanA＝56.78，求锐角A. 

  按键顺序如下表.(多媒体演示)

	按键顺序	显示结果
sinA=0.9816		sin-10.9816=78.99184039
cosA=0.8607		cos-10.8607=30.60473007
tanA=0.1890		tan-10.1890=10.70265749
tinA=0.56.78		tan-156.78=88.99102049

上表的显示结果是以“度”为单位的.再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.

    解答：sinA=1/4＝0.25.按键顺序为，显示结果为14.47751219°，再按 键可显示14°28′39″.所以∠A=14°28′39″.

课堂练习一

    1.根据下列条件求锐角θ的大小：

    (1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ=0.3957；

    (3)cosθ＝0.7850；(4)tanθ＝0.8972；

    (5)sinθ＝；(6)cosθ＝；

    (7)tanθ=22.3；(H)tanθ=；

    (9)sinθ＝0.6；(10)cosθ＝0.2.

    2.某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角.

    (请同学们完成后，在小组内讨论、交流.教师巡视，对有困难的学生予以及时指导)

    [生)1.解：(1)θ＝71°30′2″；(2)θ＝23°18′35″；

    (3)θ＝38°16′46″；(4)θ＝41°53′54″；

    (5)θ＝60°；(6)θ=30°；

    (7)θ=87°25′56″；(8)θ＝60°；

    (9)θ＝36°52′12″；(10)θ＝78°27′47″.

    2.解：设坡角为α，根据题意，

    sinα=0.04，α＝2°17′33″.

    所以这段公路的坡角为2°17′33″.

    2.运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.   

    [例1]如图，工件上有-V形槽.测得它的上口宽加20 mm深19.2mm。求V形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°)

    分析：根据题意，可知AB＝20 mm，CD⊥AB，AC＝BC，CD=19.2 mm，要求∠ACB，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可.

    解：tanACD≈0.5208，

    ∴∠ACD＝27.5°，

    ∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°.

[例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度，

    解：如图，在Rt△ABC中，

    AC＝6.3 cm，BC=9.8 cm，

    ∴tanB≈0.6429.

    ∴∠B≈32°44′13″.

    因此，射线的入射角度约为32°44′13″.

    注：这两例都是实际应用问题，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，这时我们根据直角三角形边的关系.即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题.

    3.解直角三角形

    直角三角形中的边角关系 ：

    在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.

    (1)边的关系：a²+b²=c²(勾股定理)；

    (2)角的关系：∠A+∠B=90°；

    (3)边角关系：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b ；sinB＝b/c，cosB＝a/c，tanB=b/a .

    由前面的两个例题以及上节的内容我们发现，很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间的关系，使实际问题都得到解决.

随堂练习二、

    1.已知sinθ＝0.82904.求∠θ的大小.

    解：∠θ≈56°1″

    2.一梯子斜靠在一面墙上.已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成的锐角.

    解：如图.cosα＝0.625，α≈51°19′4″.

    所以梯子.与地面所成的锐角约51°19′4″.

课时小结

    本节课我们学习了用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.并且用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题.

课后作业

    习题1.5第1、2、3题

活动与探究

如图，美国侦察机B飞抵我国近海搞侦察活动，我战斗机A奋起拦截，地面雷达C测得：当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为∠DCA=16°，∠DCB＝15°，它们与雷达的距离分别为AC＝80千米，BC=81千米时，求此时两机的距离是多少千米?(精确到0.01千米)

    [过程]当从低处

观测高处的目标时.视

线与水平线所成的锐

角称为仰角.两机的距

离即AB的长度.根据

题意，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD.E、F为垂足，所以AB＝EF，而求EF需分别在Rt△AEC和Rt△BFC中求了CE、CF，则EF＝CF-CE.

    [结果]作AE⊥CD，BF⊥CD，E、F为垂足，

    ∴cos16°=CE/81，∴CE＝80×cos16°≈80×0.96＝76.80(千米).

    ∴cos15°= CF/81 ，∴CF＝81×cos15°≈81×0.97＝78.57(千米).

    依题意AB=EF=CF-CE=79.57-76.80=1.77(千米).

    所以此时两机的距离为1.77千米.