植树问题教学实录

学习目标：
1.通过实验探究，理解植树问题中棵数与段数的关系.
2.通过学生自主实验、探究、交流，发现规律，培养学生动手操作、初步探究、合作交流的能力；渗透数形结合的思想，培养学生借助图形解决问题的意识和针对不同问题的特点灵活解决问题的能力.
3.渗透归纳推理和转化的思想、方法，培养学生研究问题的科学素养.
教学过程：
一、开门见山，揭示课题
1.板书课题：植树问题.
2.讲述课前调查一事.
师：为了上好“植树问题”，上课前，我在三个学校分别找了三、四年级同学，让他们做了几个题.其中，第一题三年级同学做得不错，四年级中没学过植树问题的同学也做得挺好，可偏偏就是学过植树问题的同学错误不少，大家想看看是什么题吗？你也试试？待会儿我出示这道题后，请你把算式和答案记在心里，想好了就举手，看谁快！我先读题，准备好了吗？
二、师生互动，探寻棵数与段数的关系
1.寻求段数的计算方法.
出示题目：120米的路，每20米一段，可以分成几段？
师读题，指名回答（有学生认为是7段），并出示调查中学生的一些错误做法（如下图），进而引导学生讨论并统一算法.
              
师小结：求几段，就是看120里面有几个20，直接用除法计算.
2.引发争议，聚焦段数与棵数的关系.
师：还是这120米的路，也还是每20米一段，只不过我们要在这条路上种树.（出示题目：在一条120米的路的一边种树，每隔20米种一棵（两端都种），一共要种几棵树？）请把你的算式和答案写在纸上.
生独立练习，师巡视，并收集几种典型做法进行展示.
如：120÷20=6（棵），120÷20+1=7（棵）.
师引导学生找出不同做法中相同的一步——120÷20，然后提示学生，这步求的是什么？
学生意见统一，都认为求的是段数.
师：看来，120÷20求出的就是段数，而题目要求的是多少棵，有的同学认为是用段数加1，有的认为不要加，到底谁对呢？有什么好的办法来判断？
生：画个图，看看是谁对！
3.画图验证，初步感知研究的方法.
师：你会画图吗？请说说要画些什么？
生动手画图验证，师适时指导并选择一个学生的画法予以展示.
师：大家一起看看他画了几段？我们一起数数.（指着学生的图，带大家数）是几棵？

段数
6

棵数
7

学生一齐数出是7棵.师：那谁对了？ 
根据学生回答，将板书写成：  
师：刚才我们求出的是6段，就画6段来进行验证.这就是直接检验，其结论是非常令人信服的！
4.寻找事实，总结棵数与段数间的规律.
师：在实际生活中，种树的这条路往往不止120米，如果是1200米的路，那么先求什么？
生1：段数，1200÷20=60段.
师：然后呢？
生2：我认为再加1棵，是61棵.
生3：我觉得应当加2棵.
生4：我认为是加10棵，70棵.
师：又出现不同意见了，该怎样判断？ 还是画图？好，我们一起来画.怎么画？
生5：画60段.
老师试着画60段，画到第9段就已经画到黑板的一尽头了，碰到困难.教师趁机引导学生讨论,最终确定研究方法：可以少画一点，找规律.
教师示范画线段图,带领学生研究规律.
师：看来，在这种情况下，棵数就等于段数加1.（板书结论）在这里，我们通过一两个事实产生一种想法，再通过寻求更多的事实验证这种猜测，这就是研究.
5.另辟新路，学习两端都不种的情况.
出示题目：卡通世界一号楼与二号楼之间有一条600米长的路，计划在路的一边种树，相邻两棵树之间的距离是3米.一共要栽几棵树？
生独立完成表格，研究题中棵数与段数的关系.（出示表格）
  ⑴画一画，填一填.

总长（米）
每段长度（米）
段数
示意图

棵数
6
3
9
3
12
3
3
⑵请用一句话或一个算式表达棵数与段数的规律：.
学生独立做，师巡视时强调最后一行留给学生自己去探究，重点检查图的画法.请学生上展台汇报，说说自己是怎样研究的.
师：（板书结论）你们真了不起，那这个题该怎样解答呢？同桌互相说一说，然后全班交流.
6.峰回路转，学习封闭的情况.
师：在生活中，还有这样的种树情况.（出示题目：圆形广场一周全长400米.沿这一圈每隔5米种一棵小松树，一共需要种几棵小松树？）情况好像又变了，是不是啊？（请学生说区别）那么这个题你准备怎么研究？请独立研究，用事实来说话！
学生小组合作，研究规律后集体汇报.（板书结论）
师小结：通过研究，我们今天一共得到了三个结论：两端都种时，棵数=段数＋1；两端都不种时，棵数=段数－1；在封闭图形中，棵数=段数.（边说边贴出三幅图，形成如下板书）
   棵树=段数＋1                                        
                                           
   棵树=段数－1                                        

   棵树=段数

三、联系生活，拓展应用
师：其实，“植树问题”也可以不植树的！来，一起看看！
师生一起欣赏生活中的“植树问题”图片.
师：小朋友们排路队回家，这里面也蕴含着“植树问题”，你看出来了吗？如果要解决这个问题，你应当画哪幅图研究？
生1：第一幅图.把学生看成树，每两人间的距离看成段数.
师：那，如果是在溜冰场四周立路灯呢？
生2：画第三幅图.
师：锯木头呢？
生3：画第二幅图，因为锯的次数就相当于棵数.
师：如果要把木头锯成9段，要锯几次？说说怎样思考？
师根据学生回答，出示算式，统一做法.
四、总结分析，渗透解决问题的策略
师：今天大家做的这几个题就是丁老师课前调查的题！事后，我专门和几个做这些题出了错的同学进行了交谈.他们说：刚学的时候我记得很清楚，后来就迷糊了，不知道什么时候加1，什么时候减1 ，什么时候不加也不减.的确，公式这么多，要记牢还挺不容易的！要是真忘了，你有办法把它找回来吗？
生：我们可以再画图，看看棵数和段数是什么关系.
师：对！这就是一个简单的找回这些公式的办法.既然公式忘记了还可以有这么简单的办法找回来，那公式就不是那么重要了，对吗？这样的话，老师就把这些公式都擦掉了，但老师提醒大家，画图、验证、研究、找事实、寻求规律，这些你可千万别忘了！
  
[评析]
谈谈对以下三个问题的认识.
1.“植树问题”是一个什么样的问题？
在一条路上种树，这些树把一条路平均分成了若干段，若只考虑这条路的长度与分成的段数以及每一段的长度，则只是一个简单的数量关系（简单的乘法或除法）.若仅仅是这样，植树问题还没有资格成为一个值得专门取个名字加以研究的问题，就像若干个小朋友平均分一些苹果的问题一样，不必专门取个叫“分苹果问题”的名字来加以研究一样.可我们关注的是种的树的棵数，而棵数与分成的段数关系密切且往往不相等，于是就有了研究在各种植树情况条件下，棵数与段数的关系问题的“植树问题”.更因为一段段的路与一棵棵的树间隔着排列，这种间隔计数是一个很重要的数学模型.不仅在解决“植树问题”中有用，在其他很多现实生活问题和数学问题中同样常见——从生活中的计算日期（6月10日到6月15日共多少天）、计算年龄到数学中的等差数列等比数列求项数，都能见到间隔计数的影子。[zxc1]于是，以植树为载体来研究这类间隔计数模型就显得重要了.
2.学生在“植树问题”的学习中应该获得什么？
“植树问题”是“奥数”中的经典问题.有不少学生此前均学习过“植树问题”，那么学生在通常的“植树问题”学习中能获得些什么呢？学生通常能得到两个方面的收获。一是知道“植树问题”这个名字，并且知道大凡在“一条路上种树”这样的问题，往往就是“植树问题”，并且知道（或隐隐约约知道）“植树问题”有很多种情况.二是知道解决“植树问题”的公式里经常有“加1”“减1”，有些学生能准确地记得什么情况下加1，什么情况下减1，有些学生记得不那么清楚.因此，学过“植树问题”的学生解决这类问题的过程通常是进行模式识别：植树问题吗？两端都种吗？“加1”吗？这些学生解这类问题的速度往往很快，题目看完即可动手，但也常常由于模式识别不清，“加1”“减1”之类记忆不准而犯错误，甚至把一些简单的问题错误地识别为“植树问题”加以解决（这些从丁老师的调查中都可以得到印证），并且学生往往很少对自己的答案产生过怀疑，没有能力（也没有意识到）想办法检验一下自己的答案.同时，学生对为什么“加1”“减1”的认识往往停留在记忆的水平上，尽管老师问学生“为什么要加1”时，学生往往也会回答“因为两端都要种”，但这也只是记忆，即在学生认知结构中，“加1”与“两端都种”之间的联系是浅层次的，机械的.
从“问题解决”的角度看，“植树问题”只应该是载体，是提高学生解决问题能力的载体.于是，教学“植树问题”的目的应该不仅仅是让学生能很快对各类植树问题的模式进行快速识别，并能准确地利用相应的公式解决之.解决问题的能力更多地体现在解决一个新的问题的过程中，即在面临一个新问题时，谁有更多的手段来研究并解决它.于是，我们不妨设想一个解决问题的能力比较强，却从来不知道“植树问题”为何物的人怎样解决“在1200米的路的一边种树（两端都要种），每隔3米种一棵，一共要种多少棵？”的问题.首先，这个人应该能凭直觉意识到应先求出这条路被分成了多少段.他能很快算出1200÷3=400，接下来应该要能意识到求出来的400是段数，不能贸然地认为就是400棵，还得研究一下棵数与段数之间的关系.（这事实上即是一个成熟的解决问题者与一个新手的区别，新手可能就下结论了！）弄清棵数与段数之间的关系对于这个“解决问题能力比较强”的人来说应该不是难事，只需通过一个简单的图示来解决（这种图示可能被画在纸上，也可能只出现在解决问题者的头脑里）.在这一个个图示中，这个解决问题者即发现了一种模式（是发现，不是记忆）——“原来还要加1” .（我们说数学是关于模式的科学，其意义也许可以从这里看到一点点吧），我们所设想的这个解决问题者面对问题的态度，研究问题的手段就是学生在学习“植树问题”时特别要获得的！
3、植树问题的教学要注意什么？
值得一提的是，丁老师设计本节课能从调查了解学生的学习现状开始，本身就是一种难能可贵的研究态度.发现问题（可以是通过调查，也可以是通过其他手段），寻找原因，有针对性地设计教学解决问题，这也应成为教学设计的基本程序.
我们认为，“植树问题”的教学，首先要注重培养学生面对问题时的态度——研究的态度。有经验的老师往往会有这样的体会：很多学生在面临一个问题时，首先就会在记忆中搜索：老师以前有没有教过这类问题？如果得到否定的回答，就会认为这样的题目是很难，并往往由此选择放弃，即没有解决一个新问题的勇气和愿望。丁老师在本课中特别关注学生用研究的态度面对数学问题。这一点，从丁老师的一些课堂用语中不难看出。“情况又变了，怎么办呢？如何研究？”，“又有了不同意思，谁的意见正确呢？如何检验？”，这些话在不停的告诉学生：面对新的问题是正常的，要有研究的态度；有不同意见也是正常的，有寻找事实支持，用事实说话，而这些正是研究的态度。其次要注意合理处理教材。事实上，很多老师在“植树问题”的教学时，都是只教“不封闭”的情况（甚至是“不封闭”情况中的部分类型——“两端都种”或“两端都不种”），并认为如果一节课涉及的情况过多，学生可能不能熟练的掌握，从而教学效果不好。这种观点认为，研究一种情况比研究多种情况更能深入，教学一个例题比教学多个例题更为容易。事实上，有时候情况恰好相反，用波利亚的话说：“多个问题也许比一个问题容易回答，较全面的定理可能更容易证明，较普通的题目可能更容易回答”（《怎样解题》第101页，上海科技教育出版社），并指出出现这种“悖论”的原因是“洞察了超越那些表面现象的东西”。我们认为，丁老师把“植树问题”的各种情况全部呈现，让它们在“研究的态度”、在“画图、找规律、验证”等研究问题的基本方法这些“超越表面现象的东西”之下统一起来，这正是培养学生解决问题能力的好办法。第三、要正确的看待植树问题的“公式”。“公式”是对“植树问题”中数量关系的概括和总结，当然是重要的，但是比起获取这些公式的方法来说，其重要性又是次之的。特别是具体到植树问题中棵数与段数关系的公式，如果有研究的态度，有画图确认的意识，是不难得到的。因此，从这个意义上讲，这些公式又是不重要的。丁老师的这种价值取向在她看待三个“公式”的态度上有明显体现——这些不重要，忘了也可以找回来，研究的态度，研究的方法才是重要的.她自己有这种价值取向，同时也企图通过自己的教学培养学生这种价值观.认识什么样的知识最有价值，在当前信息成几何级数增长的时代尤其重要.若只会解决一个植树问题，就算解得最快、最准，到底有多少价值呢？丁老师的课也是对这个问题的一个很好的回答.有取就有舍，对于这节课而言，比如练习量够不够？这即是可以提出讨论的问题.但有舍才有得，让学生以“植树问题”为载体，培养自己研究问题的态度，学习研究问题的方法，就算是牺牲一点“模式识别”型训练，也是值得的. [zxc1]修改意见要求详细补充，遗憾没能找到太多例。