提单项式公因式因式分解课堂实录

一、问题导入

师：同学们,在上课之前先回答老师一个问题：整数18，42，60的最大公因数是什么？

生：是6

师：那多项式 z²+yz中每一项的因式分别是什么？你发现什么？

生：z²的因式是z和z,yz的因式是y和z。

生：我发现这两项都含有相同的因式z

二、讲授新课

（一）找单项式公因式

1、师：请同学们再观察下列每个式子含字母的因式有哪些？

     xy，xz，xw

生：多项式中每一项都含有因式x .

师：那也就是说即多项式xy+xw+xz中的每一项都含有因式x，我们把x叫做这个多项式的公因式。

师:那如何确定一个多项式的公因式呢?请同学们以小组为单位找一找下面这个多项式的公因式。

学生活动：找一找9x²+ 6xy的公因式.

师：请第一小组代表说一说，你是怎么找公因式的？

生：这个多项式有两项9x²  和6xy,这两项都含有x和3，因此，这个多项式的公因式为3x。

3、师：你们同意他的说法吗？当多项式中同时含有两个相同因式时，怎样找到它的公因式？接下里我们一起来总结一下找公因式的方法？

    首先找系数——各项系数的最大公因数;

其次找字母——各项相同字母；

最后看指数——各项相同字母的最低次幂.

简单记为：一看系数　二看字母　三看指数

师：在初步掌握了找公因式的基本步骤之后，我们通过几道习题一起来巩固一下吧！请同学们找一找下列多项式的公因式是什么？

(1)  3x+6y          3    生：两项都含有因式3，因此公因式为3

(2)  ab-2ac          a    生：两项都含有因式a,且a的最低次幂为1，公因式为a

(3)  a² - a³           a²

(4)  9m²n-6mn       3mn

（5）6x²y-8xy²        2xy

（二）提单项式公因式法分解因式

    1、师：请同学们思考：我们知道多项式xy+xz+xw的公因式为x,那这个多项式怎么进行因式分解呢？

    生：可以利用乘法的分配律，把相同的因式提到括号外面去。

师：你的想法真棒！如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，我们把这种多项式因式分解的方法叫做提公因式法．

师：下面通过几个例子，我们一起来看一看如何利用提公因式法进行因式分解

三、典例精析

例1  把5x²-3xy+x因式分解．

请分析：第三项的因式有哪些?    (x是这个多项式的公因式)

生：第三项分为x和1 

解：原式 =x·5x-x·3y+x·1

 =x(5x-3y+1)

师总结：提公因式法分解因式步骤(分两步)：第一步 找公因式

第二步 提公因式

例2 把4x²-6x 因式分解

生:系数为4和6，最大公约数为2；两项字母部分都有x，且x的最低次幂为1,由此得公因式为2x.

解：原式 = 2x·2x-2x·3

         =2x(2x-3)

通过这几个例子，相信同学们应该比较熟悉解题的步骤了，接下来这个题目请同学们自己独立完成。

解：原式 = 4xy²·2xy -4xy²·（-3z)

         =4xy²(2xy²-3z)

师：利用提公因式法分解因式给我们解题带来了些许便利，但是我们在进行因式分解时要尽量的认真仔细，避免犯一些小错误。

师：观察下面三个式子的因式分解是否正确，说出理由。

1、把3x²-6xy+x分解因式  下面的解法有误吗？

解：原式=x(3x-6y)              生：错误，第三项提公因式剩余的项为1 

正解：x(3x-6y+1）

2、把8a³b²+12ab³c分解因式.

解：原式=4ab(2a²b+3b²c)        生：错误  公因式还没有提尽，还可以提出公因式b

正解：4ab²(2a+3c)

3、把-x²+xy-xz分解因式

解：原式= -x(x+y-z)            生：错误 提出负号时，括号里各项未变号 

正解：-x(x-y+z)                

师总结：这样的三种情况非常常见，多项式首项系数为负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数为正数。

师：今天的课就上到这里了，请同学完成今天的课堂作业

1、3xy-5y² +y

2、-4x²+10x

3、-15a³b-21a²b³+6a²b²

最后，我们一起来回顾一下提公因式法分解因式的步骤：

第一步，找出公因式；

第二步，将多项式写成公因式与剩余因式乘积的形式；

第三步，提公因式。

2、用提公因式法分解因式应注意的问题：

（1）公因式要提尽；

（2) 切勿漏掉1

（3）多项式首项有负常提负