等差数列及其通项公式

教学目的：

1.要求学生掌握等差数列的概念

2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。

教学重点：

1.要证明数列{a_n}为等差数列，

 2.等差数列的通项公式：a_n=a₁+(n-1)d (n≥1,且n∈N^*).

教学难点：

等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。

教学过程：

一、 引导观察数列：

      （1）1 ，3 ， 5 ，7，9，11， ……

（2）3，6，9，12，15，18，……

（3）1，1，1，1，1，1，1，……

（4）3，0，－3，－6，－9，－12，……

特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”

二、  得出等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。

        注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。

定义另叙述：在数列{}中，－=d（n ∈), d为常数，

则{a_n}是等差数列，常数d 称为等差数列的公差。

评注：

1、一个数列，不从第2项起，而是从第3 项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，此数列不是等差数列.

如：（1）1，3，4，5，6，……（2）－1，0，12，14，16，18，20，……

2、一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管等,于一个常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，故定义中“同一个常数”中“同一个”十分重要，切记不可丢掉。

3、求公差d时，可d=a_n—a _n－1,,,,也可以用d=a _n＋1－a_n

4、公差d∈R，当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为
递增数列；当d<0时，数列为递减数列。

三、等差数列的通项公式：a_n=a₁＋（n－1）d

问题1：已知等差数列｛a_n｝中，公差为d，则与a_k（n,k ∈N₊）有何关系？

答：由等差数列的通项公式

a_k=a₁＋（k－1）d     ②

由①－② 得，a_n －a_k=（n－k）d

此为等差数列的通项公式的变形公式

四、应用

例1 （1）求等 差数列8，5，2，……的第20项

     （2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，……的项， 如果是，是第几项？

解：（1）由a₁=8,d=5－8=－3,n=20,得:

         a₂₀=8＋（20－1）×（－3）=－49

（2）由a₁=－5,d=－9－（－5）=－4,得:

        a_n =－5＋（n－1）×（－4）即=－4n－1

由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得

若  －401=－4 n－1成立

解这个关于n的方程，得n=100

即－401是这个数列的第100项

例2   在等差数列｛｝中，已知a₅=10，a₁₂=31，求首项a₁与公差d。

解：由题意可知

由a_n=a_k＋（n－k）d,知

a₁₂=a₅＋（12－5）d,即10＋7d=31    解得 d=3

∵    a₅=a₁＋（5－1）d∴   10=a₁＋4×3     解得a₁=－2

即这个等差数列的首项是－2，公差是3

例3    梯子的最高一级宽33㎝，最低一 级宽110㎝，中
    间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。

解：用｛a_n｝表示梯子自上而下的各级宽度所成的等差数列

由已知条件，有a₁=33,a₁₂=110,n=12

由通项公式，得a₁₂=a1＋（12－1）d

 即110=33＋11d,   解得d=7

因此，a₂=33＋7=40,a₃=40＋7=47,a₄=47＋7=54,a₅=61,a₆=68

a₇=75,a8=82,a₉₌89,a₁₀=96,a₁₁=103

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40㎝，47㎝，
54㎝，61㎝，68㎝，75㎝，82㎝，89㎝，96㎝，103㎝。

练习1.（1）求等差数列3，7，11，…的第4项与第10。
        （2）求等差数列10，8，6，…的第20项。
        （3）100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是 第   

几项？如果不是，说明理由。                                                                                         

       （4）—20是不是等差数列0， —7，…的项？
           如果是，是第几项？如果不是，说明理由。

解 ：（1）由a1=3，d=7－3=4得

a₄=3+（4－1）×4=15

a₁₀=3+（10－1）×4=39

（2）由a₁=10，d=8－10=－2，得a₂₀=10+（20－1）×（－2）=－28

（3）由a₁=2，d=9－2=7，得：=2+（n－1）×7=7n－5

由题意知，7n－5=100  解得n=15即100是这个数列的第15项

2.在等差数列｛a_n｝中，
       （1）已知a₄＝10，a₇=19，求a₁与d；
       （2）已知a₃=9，a₉=3，求a₁₂。

解：（1）由题意得

         a₁+3d=10             a₁=1

a₁+6d=19     ∴      d =3

即这个等差数列的首项为1，公差为3。

（2）设等差数列{}的首项为a1，公差为d，由题意可知：

a₁+（3－1）d=9         a₁=11
a₁+（9－1d）=3          d =－1

这个数列的通项公式为a_n=12－n  ∴   a₁₂=12－12=0

另解：由a_n=a_m+（n－m）d，得  a₉=a₃+（9－3）d

3=9+（9－3）d       ∴d=－1

∴ a₁₂=a₃+（12－3）d=9+9（－1）=0

3.已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d：
  （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个 新的数列，这个 新   

数列是等差数列吗？如果 是，它的首项和公差分别是多少

（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是差  数列吗？如果是，  它的首项和公差分别是多少？

（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？ 如果是，它的首项和公差分别是多少？

解：（1）是. 首项为a_m+1.  公差为d

（2）是.   首项为a₁.   公差为2d

（3）是.首项为a₇.公差为7d

五小结：

本节课首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式a _n+1－a_n =d(n∈N₊)。其次，要会推导等差数列的通项公式：a_n=a₁＋(n－1)d(n≥1)，并掌握 其基本应用。最后，还要注意一重要关系式：a_n=a_m＋(n－m)d的理解与应用。

六、教学反思

   等差数列是高中数学的一个重要知识点。本节学习了等差数列的定义以及通项公式。先通过4个例子引导学生分析,让学生观察特点，总结出等差数列的概念。进而引导学生推导等差数列的通项公式。有通项公式a_n=a₁+(n－1)d进一步变形得到a_n=a_k+(n－k)d。接下来通过例题加强对等差数列概念的理解，对通项公式以及变式掌握应用。之后通过课堂练习来反馈学生的学习情况。在课堂的最后环节通过学生作小节，来培养学生的自主学习，勇于探索的学习习惯。但是在教学活动的过程中，我们没有考虑到学生的理解过程，高估了学生的学习能力，没有从学生的学情出发，在教学的过程中，我们单纯的教给了学生知识，而把培养学生的学习能力给忽视，使得教学的活动过分的单调，同时也不利于学生的成长。