二次函数知识点梳理
一、二次函数的定义及其表达式
1、定义：一般地，形如y=ax^2 bx c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a、b、c。
2、表达式：二次函数的表达式有三种形式，分别是
（1）一般式：y=ax^2 bx c（a，b，c为常数，且a≠0）；
（2）顶点式：y=a(x-h)² k。二次函数的顶点为P（h，k）；
（3）交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)。x₁和x₂分别是二次函数的图像和x轴两个交点的横坐标。特别的，当二次函数的图像与x轴只有一个交点时，x₁=x₂。
二、二次函数的图象和性质
通过描点法和五点绘图法都可以做出二次函数y=ax^2 bx c的图像，其图像是一条抛物线，通过图像可以看出二次函数，即抛物线有如下性质。
1、二次函数y=ax^2 bx c的图象是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a，对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
2、二次函数y=ax^2 bx c的图象的顶点坐标是(-b/2a，(4ac-b^2;)/4a )，对称轴是直线x=-b/2a，当x=-b/2a时，二次函数y=ax^2 bx c有最大(最小)值，当a>0时，函数y有最小值，当a<0时，函数y有最大值.
3、二次项系数a决定函数的开口方向，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。a的绝对值决定开口大小，a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。
5、常数项c决定抛物线与y轴交点，坐标为（0，c）。
6、抛物线与x轴交点个数
（1）Δ=b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。两点坐标分别为A（x₁，0）和B（x₂，0），其中的x₁，x₂是一元二次方程ax^2 bx c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|。
（2）Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，即抛物线的顶点C(h,k)。
（3）Δ=b²-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，当△>0，a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当△>0，a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。
7、抛物线y=ax^2 bx c（a≠0）的单调性
（1）若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大。
（2）若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小。
三、二次函数的考点题例
二次函数的知识是初中重要内容，在中招考试中很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。下面通过题例，探讨二次函数的解法。
例1 某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少？
解：由题意可知4y＋×2πx＋7x＝15.化简得y＝(15-7x-πx)/4
设窗户的面积为S m2，则S＝－3.5x2＋7.5x.
∵a＝－3.5<0，∴S有最大值.
∴当x=15/14≈1.07(m)时，
S最大＝225/56≈4.02(m2).
即当x≈1.07 m时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积是4.02 m2.
例2 某经销店为某工厂代销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元).
(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.
解：(1)45＋×7.5＝60(吨).
(2)y＝(x－100)(45＋×7.5).
化简，得y＝－x2＋315x－24 000.
(3)y＝－x2＋315x－24 000＝－(x－210)2＋9 075.此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.
(4)我认为，小静说得不对.理由：当月利润最大时，x为210元，而月销售额W＝x(45＋×7.5)＝－(x－160)2＋19 200.当x为160元时，月销售额W最大。
