教学目标

1．会作一个角的角平分线，能证明作法的正确性，并在经历“观察——操作——证明”的活动过程中养成善于分析、乐于探究和理性思考的良好习惯；

2．会过一点作已知直线的垂线，能证明作法的正确性，体会与“作一个角的角平分线”作法的联系，在比较中探究作法；

3．能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维．

教学重点

会“作已知角的角平分线”和“过一点作已知直线的垂线” ．

教学难点

几何图形信息转化为尺规操作．

教学过程（教师）

学生活动

设计思路

一、情境创设

工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图（1），在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．

请同学们说明这样画角平分线的道理．

提取信息，利用“SSS” 说明画角平分线的道理．

呈现工人师傅常常利用角尺平分一个角的情境，为探究新知提供“脚手架”，为“探索活动一”的证明提供思路．

二、探索活动一

1．说  请按序说出木工师傅的“操作”过程．

2．作与写　用直尺和圆规在图（2）中按序将木工师傅的“操作”过程作出来，并写出作法．

3．证 请证明你的作法是正确的．

4．用 用直尺和圆规完成以下作图：

（1）在图（3）中把∠MON四等分．

（2）在图（4）中作出平角∠AOB的平分线．

说明：过直线上一点作这条直线的垂线就是作以这点为顶点的平角的

角平分线．

积极思考，回答问题，整理成下列形式：

说：

作：

证明：在△MOC和△MOD中，

      OC＝OD，

OM＝OM，

CM＝DM，

∴△MOC≌△MOD（SSS），

∴∠COM＝∠DOM，

即OM平分∠AOB．

通过学生的“说”，进一步加强学生对工人师傅操作过程的理解，引发学生的数学思考，即将相关的几何信息转化为尺规的操作方法．

“说”与“作”对应，为学生“按序”尺规作图提供更为清晰的流程，这样设计使得学生易想、易作和易写，对突破难点，养成有条理的思考十分有益．

“用”就是为了巩固新知和发现新法．

三、探索活动二

1．观察思考．在图（2）作图的基础上，作过C、D的直线l（如图（5）），观察图中射线OM与直线l的位置关系，并说明理由．

2．问题变式． 

你能用圆规和直尺过已知直线外一点作这条直线的垂线吗？（如图（6），经过直线AB外一点P作AB的垂线PQ）．

3．比较分析．

引导学生比较新旧两个问题之间的联系，寻求解决新问题的策略．

4．作图与证明．

（1）作法

步骤1　以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于C、D．

步骤2　分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点Q．

步骤3　作直线PQ．

∴直线PQ就是经过直线AB外一点P的AB的垂线（如图（7））．

（2）证明略．

5．归纳总结．

根据活动一中的4（2）与活动二可知：

经过一点可用直尺和与圆规作一条直线与已知直线垂直．

先独立思考，再互相讨论，踊跃回答：

1．OM⊥l，说明理由略．

2．（1）比较．

（2）分析．

作图的关键是在直线AB上确定C、D两点，使得PC＝PD；确定点Q，使得CQ＝DQ．

3．学生尝试作图（如图（7））并书写作法：

（1）作图；

（2）书写作法；

（3）证明．

利用已有的图形进行分析，学生对问题的研究既有亲切感又有探究的欲望，此时顺理成章的提出所研究的问题．

“类比”是发现解决问题策略的一种有效方式，学生通过比较新旧问题的有关信息，不难发现解决新问题的方法，有效地突破了难点．

让学生在活动一的基础上尝试“边作边写”，有利于培养学生的作图能力和几何素养；另外另一方面将“作图、作法、证明”融为一体，有利于培养了学生严谨的数学思维．

四、知识运用

用直尺和圆规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于a、b（如图（8））．

1．学生尝试作图；

2．交流作法；

3．总结作两条相互垂直直线的方法．

本题解决的关键是作两条相互垂直的直线，但点的位置没有确定，故根据点的位置的不同可选择不同的解题策略．

五、拓展延伸

　　如图（9），已知A、B是l上的两点，P是l外的一点．

　　（1）按照下面画法作图（保留作图痕迹）：

　　①以A为圆心，AP为半径画弧；

　　②以B为圆心，BP为半径画弧；

　　③设两弧交于点Q（Q与P分别在l的两旁）；

　　④连结PQ．

（2）求证：PQ⊥l．

1．学生按要求独立作图与证明；

2．小组交流：与前面一种方法进行比较，说明两种方法的异同点．

相同的问题，不同的解法有利于培养学生的发散思维，激发学生学习几何图形的兴趣．

通过比较两种不同的方法，进一步加深理解基本作图的知识本质．

六、课堂小结

知识联系网络图（教师逐一展示，引导学生回顾总结）：

根据教师对网络图的逐步展示，学生进行回顾和总结．

因为学生的学习要经历短时记忆到长时记忆过程，而网络化的总结方式有利于长时记忆的形成，有利于完善学生的认知结构，有利于加强知识之间的联系，揭示作图的知识本质．

七、课后作业

　　1．已知∠AOB（如图（10）），

　　求作：（1）∠AOB的平分线OC．

    （2）作射线OD⊥OC（两种作法）．

    （3）在OC上取一点P，作出点P到∠AOB两边的垂线段，并比较这两条垂线段的大小关系（要求保留作图痕迹，不写作法和证明过程）．

2．查询资料：能利用直尺和圆规将一个角三等分吗？

   1．作业1由学生独立完成；

   2．作业2根据学生的实际情况完成，搜集材料后进行全班交流．

作业1是为了巩固基本作图的几种方法，问题1（2）可培养学生的发散思维，问题1（3）既巩固所学知识，又为后继学习“角平分线的性质”作铺垫；

作业2主要是拓展学生知识视野，激发探究欲望．