倍数和因数

教学内容：教科书第30-32页例1、例2、例3和相应的“试一试”、“练一练”，练习五的第1-4题。

【教学背景分析】

（一） 教材分析

因数和倍数是人教版第十册第二单元的起始课。教材不再以“整除”概念为基础引出因数与倍数，而是利用摆长方形这一直观教学的基础上，借助整除的模式na=b，直接引出因数和倍数的概念并理解这二个概念，对于后面的学习起到承上启下的重要作用。

（二） 学情分析

1.学生对“因数和倍数”的名称并不陌生。

2.学生可能会将乘法和除孤立开来，不能沟通联系，往往认为“乘法中有因数，除法中有倍数”。

3.学生还有可能受前认知的干挠，往往把倍数认识认为是二年级的“倍的认识”，而不是“整除条件下的倍数”。

【教学目标】

1.使学生结合整数乘、除法计算，初步认识因数和倍数的含义，探索秋一个数的因数和倍数的方法，体会一个数的倍数和因数之间的相互依存关系。

2.经历“活动建构”和“自主探究”的过程，发展学生的数感，培养思维的有序性。

3.让学生体会数学的奇妙、有趣，产生对数学的好奇心，激发对自然数特点的探索愿望。

教学重点：

1.理解因数和倍数的意义以及相互依存的关系。

2.掌握找一个因数和倍数的方法。

教学难点：

理解因数和倍数的意义以及相互依存的关系。  

 一、认识倍数和因数
   1. 师：一起看大屏幕，数一数，几个正方形？（12）

问题：如果老师请你把12个同样大的正方形摆成一个长方形，会摆吗？

每排摆几个，摆了几排？能否用乘法算式表示自己的摆法？

交流：（出示三种不同摆法） 

12个同样大小的正方形能摆3种不同的乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。

2.（1）以第一道乘法算式为例， 4×3=12，

我们以前学过，在一道乘法算式中这两个乘数也叫？（因数），相乘的结果叫？（积）其实这两个因数和积之间还存在另一种关系。

翻开书30页自学例1下面的第一自然段。说说你读懂了什么？

4和3都是12的因数，12是4的倍数，也是3的倍数（出示）

这就是我们今天所要研究的内容。
   板书：因数与倍数
   （2）根据6×2=12你能说说哪个数是哪个数的因数？哪个数是哪个数的倍数吗？ 根据12×1=12呢？

（3）如果只说12是倍数，2是因数可以吗？为什么？

（明确：因数和倍数是两个数之间的关系，一定要说清楚哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数）
    （4）师：刚才在听的时候发现1×12说因数和倍数时有两句特别拗口，是哪两句啊？
    生：12是12的因数，12是12的倍数。
    师：虽然是拗口了点，不过数学上还真是这么回事，12的确是12的因数，12也是12的倍数。

3.小结：根据刚才小正方形拼长方形时得到的三道乘法算式，我们知道了如果两个数的乘积等于某一个自然数，他们之间就存在着因数和倍数的关系。

4.拓展：你还能再说出一道不一样的乘法算式，并根据它说说哪个数是哪个数的因数？哪个数是哪个数的倍数吗？

补充说明：研究因数和倍数时，我们所说的数一般指？（不是0的自然数。）

二、探索找因数倍数的方法
   (一) 探索找因数的方法

我们认识了因数和倍数，接下来我们一起来探讨一下如何找一个数的因数

我们再回过头看看，通过这三道算式我们知道了12的因数有：4和3,6和2,12和1

如果老师让你找出一个数的因数你会找吗？

1.（出示）例2：找出36的所有的因数，说说你是怎样找的？

2. 呈现几种不同的结果

3.交流：

（1）A答案不全的如：1、 2、3、4、12、18、36

师：关于A这种方法你有什么话要说？这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？（都对，但少了6、9）。

思考一下：6、9这两个因数是36的因数吗？

看来这个同学是没有找全，其实这个同学已经很不容易了，他已经找出不少了 没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？（无序）

板书：顺序

（2）B答案1、2、4、3、6、9、12、18、36

师：第三个同学有没有找全，有没有更好的建议送给他。（3和4调换）

做了一个微调就不仅仅是美观的问题，更带给我们一种寻找的有序。

（2）C答案：1、36、2、18、3、12、4、9、6

师：这个同学似乎最没顺序了，你们觉得有道理吗？能说说你是怎样想的吗？

（由1×36=36想到1和36都是36的因数……）

想想怎样的两个数一定是36的因数？

师：有没有同学答案相同，想法不一样的？

（由除法想到）

刚才这位同学的做法好不好？

想一想，怎样找可以做到不重复、不遗漏？（有序列举）

4.请同学们将答案填写在书30页

想一想书中给我们头和尾各两个数有什么用意？你能读懂教材的编排意图吗？

一个数的因数还可以用这样集合图的形式来表示表示。 

会找一个数的因数了吗？

5.试一试：

15的因数有：         ； 16的因数有：          。

6. 观察上面的例子说说一个数的因数有什么特点。

（一个因数最小的是1，最大的是它本身，一个数的因数的个数是无限的）

（二）探索找倍数的方法    

掌握了找一个数因数的方法，想一想接下来研究什么问题？（倍数）

1.（出示）例3：你能用列举的方法找出3的倍数吗？想一想能找多少个？

（1）试着找找看（填书：31页）

      （2）引导交流：

        师：说说你是怎样想的？

启发：什么样的数一定是3的倍数？

追问：可以怎样按从小到大 的顺序找出3的倍数？

（可以从3的一倍开始列举，只要将3依次与1、2、3、4、5、6…这些自然数相乘就可以了。）

继续追问：3的倍数能写得完吗？为什么？应该怎样表示问题的答案？

     （写不完，从1开始的自然数有无数个，3的倍数就有无数个，用省略号表示）

  你能将书中31页3的集合图中表示出3的倍数

2.引导回顾：刚才我们是怎样找3的倍数的？如果让你找其他数的倍数，你打算怎样做？

3.试一试：

2的倍数有：         ，5的倍数有：         。

4组织讨论：观察上面的几个例子，说说一个数的倍数有什么特点？

（一个数最小的倍数是它的本身，没有最大的倍数，一个数的倍数的个数是无限的）

小结：这节课我们认识了因数和倍数，知道了如何找一个数的因数和倍数。学得怎么样呢？有没有信心接受挑战？做好准备没？
    三、练习拓展

1.28的因数有            ，其中最小的是     ，最大的是：

2.5的倍数有          ，其中最小的是            。

3.50以内7的倍数            。

四、拓展空间，应用新知。

1．判断。

（1）4×9=36,所以36是倍数,9是因数。（  ）  

(2) 在44÷11=4  11和4是44的因数，44是4和11的倍数 (  )

（3）4×0.5=2，所以4和0.5都是2的因数。 （ ）             

(4) 一个数的倍数一定比这个数的因数大。( )

2.完成书本练习五的（第四题）

四、感受倍数和因数的神奇奥秘
   老师给大家介绍6这个数，数学家把6称为“完美数”。想知道为什么吗？   

【奇妙的完全数】古时候，自然数6是一个备受宠爱的数。有人认为，6是属于美神维纳斯的，它象征着美满的婚姻；也有人认为，宇宙之所以这样完美，是因为上帝创造它时花了6天时间…… 自然数6为什么备受人们青睐呢？ 6的因数共有4个：l、2、3、6，数学家们发现：把6的所有除本身以外的因数都加起来，正好等于6这个自然数本身！ 数学上，具有这种性质的自然数叫做完美（全）数。

数学家找到了第一个完美数，就会去找第二个完美数，猜猜看，找到了没有？

第二个完美数是：28，它的真因数有 1、2、4、7、14，而 1＋2＋4＋7＋14正好等于28。

在自然数里，完美数非常稀少，用沧海一粟来形容也不算太夸张。有人统计过，在1万到40000000这么大的范围里，已被发现的完全数也不过寥寥5个；另外，直到1952年，在2000多年的时间，已被发现的完全数总共才有12个。直到今天人们发现的完全数总共才48个
   数学家们要付出多大的心血。你觉得什么力量使数学家们去不断努力？

生：好奇心、勇于探索

师：数学家们能透过枯燥的数学本身看到里面的东西，只要同学们善于观察、思考、勇于探索、将来一定能有所成就的。