两个根本计数原理〔第一课时〕教学设计 

      吴江中专    沈惠忠

一、教学内容

计数原理是数学中的一个重要的研究对象，本章所学的排列组合是组合数学的初步知识，是学习统计概率以及高等数学有关分支的准备知识，其思想方法灵活独特，是开展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。     

本节课讲的两个根本计数原理是计数原理这一章的重点内容，其根本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终，是推导排列数组合数计算公式的依据和学习概率及分布列的根底。

二、教学目标

学生通过对典型、熟悉的实例的学习，归纳出分类加法计数原理和分布乘法计数原理，初步了解“分类〞“分步〞，能够运用两个计数原理解决简单的计数问题，并在此根底上体会其根本思想。正确理解和掌握两个计数原理，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力，锻炼学生的数学思维。

三、内容分析

分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是设计完成一件事的不同的方法总数，其区别在于分类是将完成这件事分为假设干类，每一类中的任何一种方法都能独立完成这件事，而分步是分为几个步骤，每个步骤相互依存，只有每个步骤完成，这件事才完成。因此。弄清这件事是什么，才能够正确的选择分类还是分步，是本节课的重点，也是学生实际运用的一个难点。

四、教学过程

〔一〕引入课题

问题引入1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

分析: 从甲地到乙地有3类方法,

            第一类方法,  乘火车，有4种方法;

            第二类方法,  乘汽车，有2种方法;

            第三类方法,  乘轮船,  有3种方法.        所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。

问题引入2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?

分析:  从A村经 B村去C村有2步,

           第一步,  由A村去B村有3种方法,

           第二步,  由B村去C村有2种方法,

所以从A村经 B村去C村共有 3×2 = 6 种不同的方法。

〔可列举：北北   北南   中北   中南    南北    南南〕

设计意图：由特殊到一般的数学思想，一个问题一个问题的讲解，得出新知。

（二）新知讲解

加法计数原理    

完成一件事情，它可以有n类方法：

在第一类方法中有m₁种不同的方法,

在第二类方法中有m₂种不同的方法，……在第n类方法中有m_n种不同的方法。

那么完成这件事共有      N=m₁+m₂+…+m_n  种不同的方法。

加法计数原理    

完成一件事情，它需要n个步骤：

在第一个步骤有m₁种不同的方法,

在第二个步骤有m₂种不同的方法，……在第n个步骤有m_n种不同的方法。

那么完成这件事共有      N=m₁×m₂×…×m_n 种不同的方法。

区别与联系：分类：每种方法都能独立完成这件事

分步：各个步骤相互依存，必须每个步骤完成，这件事才完成  

设计意图：两个原理比照学习，找区别和联系    

（三）例题讲解

例1. 书架的第一层放有4本不同的计算机书,第二层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.

(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

(2)从书架的第1,2,3层各取一本书,有多少种不同的取法?

分析：先确定完成这件事是什么？  是分类还是分步？

解：(1)分3类:(略)      由分类计数原理:共:4+3+2=9种不同取法

(2)分三步:第一步:从第一层取1本计算机书，有4种;

            第二步:从第二层取1本文艺书，有3种；

            第三步:从第三层取1本体育书，有2种

    由分步计数(乘法)原理:共有:4×3×2=24种不同的选法

例2.要从甲乙丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有多少种不同的选法?〔类比书上例4〕

分析：要完成这件事，就是选2个人出来，1个白班1个夜班，可以看成分两个步骤来完成〔乘法原理〕，可借助方格来分析

解：完成这件事分两步：

第一步：从甲乙丙3人中选一个，值白班,有3种选法；

第二步：从剩下的2人中选一个，值夜班,有2种选法；

由分步计数原理〔乘法原理〕共有：3×2=6种不同的选法。书写格式

〔此题可列举法：与旧知识相联系)

例3.一种号码锁有4个拨号盘,每个盘上有0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个4位数字号码?

分析：要完成这件事？可以看成分4个步骤来完成〔乘法原理〕，可借助方格来分析

注意：数字可重复

类比彩票排列三、排列五、七星彩

设计意图：从简单的实例入手来体会这件事是什么,从而选择分类还是分步，并演示标准书写，加强思维的严密性，教会学生用方格来分析问题

（四）课堂练习：书上练习题

设计意图：通过几个简单的练习让学生自己去感受这件事是什么，分类还是分步？提高学生学习的兴趣

（五）能力拓展

1. 集合     

从A中选一个作分母，从B中选一个作分子，问共有多少个不同分数？

分析：借助方格

解：要完成这件事，分为2个步骤〔分步〕〔略〕，共有：4×2=8个

变式：假设改为                          又如何？

此题易错点：            重复一次，共有：4×3-1=11个

2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？

一般情况下，先分类，再分步〔书上习题〕

3 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用屡次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

假定三种颜色分别是:红,黄,蓝，完成这件事是什么？

解：法一：对ABCD依次着色，分4步完成：

(1) A有3种选法；

(2) 当A选定后〔假定为红色〕,B从剩下两种颜色中选一个，有2种选法；

(3) 当B选定后〔假定为黄色〕,C只有1种选法；

(4)当C选定后〔假定为蓝色〕，D只有1种选法〔与A同色〕；

由乘法原理，故共有3×2×1×1=6种方案

法二：3种颜色，4个区域，必有两个区域同色，又相邻不同色，故AD同色，有3种情况，分3类：

〔1〕第1类：AD是红颜色，B有2种选法，有2种情况，B选定后，C只有1种选法.所以有：2×1=2种

同理：故共有2+2+2=6种方案

先分类再分步

设计意图：学生对知识的迁移能力和思维的严谨性

（六）课堂小结

分类计数原理与分步计数原理的异同:

“分类〞问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；

“分步〞问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．

求解问题时需注意：

1.弄清这件事是什么，

   确定分类〔有几种情况〕还是分步〔需要几个步骤〕；

2.假设遇到既有分类又有分步问题，一般先分类再分步；

〔七〕课后作业：书上习题A组1-6

〔八〕课后总结：根据学生的情况，后面的涂色问题可以考虑第二节可来讲