规律探究中的体验式学习

                 ——体验探究，也体验规律

《数学课程标准》指出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验。”学生的认知图式完善和数学知识构建实际上是依附于不断提升的生活体验。数学学科科目在不同阶段的学习体验也不尽相同，这正是学生思维螺旋式上升的体现，也从另一侧面映衬出教学内容层次成梯度的合理设置。一以贯之的学习体验在数学学习中能帮助学生提升数感，从实际到抽象再到应用的过度；理清数学发展脉络，追根溯源重经数学历史进程；培养理性思维和数理逻辑，体会严谨和细致的数学精神。

纵观整个数学发展史和人类发展史，可以很意外地发现：大量的猜想和发现在体验式学习中获得灵感，而学习体验也是在规律探究的中而日趋丰富完善。从高斯的等差数列算法，到斐波那契数列的发现，从华罗庚二分法的论证，到数论皇冠明珠哥德巴赫猜想……规律探究贯穿了整个数学，因为它必须由经人类最为原始的数学视角——观察，同时它也必定走向数学另一独特的极端——抽象。当视角锁定在小学数学阶段中规律探究时，教师应极力帮助学生在思考、探索和交流的过程中获得对数学较为全面的体验和理解。数学课堂应充分发挥学生的主体地位，营造和谐氛围，让学生调用各种感官在情境中体验、在操作中体验、在交流中体验，使其历经了巨人的困惑后再站在巨人的肩膀上。于此过程中，才能更加有效地加深知识的理解，提升数学思维能力，从而达到知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三维目标的有效实现。

 一、体验情境：体之不存，思将焉附

《小学数学课程标准》指出：“数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发对数学的兴趣，以及学好数学的愿望。”合理有效的数学情境的创设，能将较复杂、抽象的知识简易化、形象化、立体化、生动化，缓解知识坡度大带来的思维鸿沟，巧妙地将解决问题转化为任务驱动型的问题解决，能激起学生强烈求知欲望，提升动机水平至较高值，依据耶基斯-多德森定律的效果水平倒U曲线图可得出课堂效率提高的结果。所以，根据学生的身心发展规律、不同年龄的心理特点，去创设多样多彩的教学情景，放手让学生在情境中去体验，能够促进学生的理解并掌握知识。

1.创设生活情境  感受数学与生活的联系

新课程倡导“学生的数学学习内容应当是现实的，有意识的和富有挑战性的。”强调“数学来源于生活，又要运用于生活。”小学阶段学生的年龄特点决定了其未完善的思维状态以及低于成人的学习能力。学生现有的认知水平和需要发展达到的水平是原始的矛盾之一，这也是要求教师在教学中充分挖掘生活中数学的必要性所在，从现实生活出发，让情境源于生活，创设出有趣真实、贴近生活的情境，启发学生用数学的眼光看待生活的问题，拉近学生与数学知识之间的距离，适当难度，增加梯度，缓解坡度，最终达到良好过度。

如在教学《和与积的奇偶性》一课时，充分挖掘生活的资源，以大转盘抽奖活动为导入，让课堂变得生动活泼。

【教学设计】借用转盘抽奖情境，教师出示游戏规则：掷骰子(骰子上的数字分别是1、3、5)，每人抛两次，记录并把抛到的数进行相加，得到的“和”是哪个数字，对应数字的奖励就归谁。

找三个学生上台进行抽奖，发现都没有得到奖品，引起学生思考。学生发现，任意两个数相加的结果都是偶数，所以没有得到奖品。接着教师导入本节课的课题，本节课就是研究数与数之间的关系，看看这个大转盘中隐藏着怎样的奥秘？

通过这样的生活小游戏的情景导入，一方面贴近学生的生活，让学生沟通数学与生活的联系；另一方面，让课堂“活”起来，激发学生探究的欲望，吸引他们的注意力，把“要我学”变成“我要学”。类似这样的贴近生活的情景，吸引学生的注意，让课堂变得有趣起来，让学生真正成为有灵性的人，主动参与到课堂中来。

2.创设文化情境  感受数学文化的魅力

数学是人类文化的重要组成部分，它作为一种理性的深层次文化对人类生产产生重要的影响。数学与数学文化相互交融在一起，不分彼此，相得益彰。在教学中，不断渗透数学文化，能让学生感悟数学文化的真谛，体验数学丰富多彩的内涵。通过数学文化的学习可以让学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值。创设有效的数学文化情景，对于提高学生学习数学的兴趣，帮助学生更好地认识、理解、学习数学，增进学生探索精神、创新精神都有重要作用。

《钉子板上的多边形》一课的教学重难点是探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。本节课属于探究意味较浓的一节课，教学难度大。如何让学生在探究过程中保持学生的热情，可以从数学家故事导入，让学生做一回小小数学家，感受探究的过程，提高学生的主观能动性。

课的一开始，PPT出示四个数学家的故事 ：

祖冲之：是中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。他在刘徽探索出的圆周率精确计算方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间。

陈景润：出生于1933年，是我国现代著名的数学家，他在中学时，就对哥德巴赫猜想产生了浓厚的兴趣，据说为了证明这个猜想，光验算的稿纸就有6麻袋多呢！

欧拉：1907年出生在瑞士的巴塞尔城，他是科学史上最多产的一位杰出的数学家，共写下886本书籍和论文。彼得堡科学院为整理他的著名书籍足足忙碌了四十七年。

师：其实要想进一步了解数学家，不妨先与他们思考同一个问题。今天老师还带来了另一位数学家的故事，想听吗？【放录音：乔治.皮克是奥地利著名的数学家，出生于1859年。不知从什么时候开始，皮克对多边形的面积产生了浓厚的兴趣。平时喜欢在钉子板上围大大小小、各种各样的多边形来进行研究，最终获得了重要的数学发现。】你们会在钉子板上围多边形吗？我们就来当一回小皮克，通过围多边形，也来探索隐藏在其中的奥秘！

这样的设计意图一方面是渗透数皮克定理的起源，另一方面以文化底蕴为依托，让学生感受数学的魅力，将沉闷的课堂加入新的活力。结合数学史的情境引入提供了训练思维的感性材料，以语言为载体的事例之后，则要逐渐牵引出抽象结论的思维训练材料。在学生充当小皮克的过程中，他们无意识地提高了自己主观能动性，发挥了学生的课堂主体优势，为本课的顺利进行做好了心理的预备准备与情绪、情感的铺垫。

二、体验操作：纸上觉浅，知需躬行

《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。”陶行知先生曾提出“做中学，学中做”的理论，他认为要想教得好、学得好，必须做得好。有效的实践获得，能让学生更好地体验数学知识的形成过程，最终内化为自己的知识体系。在规律探究教学中给学生创设一个探究、猜测和发现的环境，使每个学生都能参与到探究过程中，将外显的操作过程和内隐的思维活动紧密结合，让学生获得初步的愉悦学习体验。

1.实物操作  使规律探究更有趣

著名的心理学家布鲁纳说：“学习的最好刺激乃对所学材料的兴趣。”为充分调动学生学习的积极性，让学生多种感官参与到教学活动中，可以通过实物操作，让学生在秦松愉快的学习氛围中，实现动口、动手、动脑，让课堂显得不会枯燥、乏味。《钉子板上的多边形》要让学生经历探究和发现钉子板上多边形面积与边上和中间钉子数之间的关系。在教学活动中，可以让学生通过围一围、画一画的方法，从简单图形入手，让学生初步感知多边形的面积可能与多边形边上钉子数、中间钉子数都有关系。操作如下：

（1）操作：每个人学生在自由地钉子板上用几根橡皮筋围不同的多边形。

（2）展示：学生展示围的图形，有相同图形，但是用的点子个数不一的；有用的点子数相同，但是图形不同的）

（3）分类：给所围的多边形分分类。

学生回答可能按三角形、四边形、五边形分类，也就是按形状分类。还有的按边上的钉子数来分类，还有的按中间的钉子数分类。

在此基础上，顺势导入本节课的课题《钉子板上的多边形》。

“兴趣是最好的老师。”这样的操作活动，从学生的实际出发，既便于学生操作，又能将教学中的静态知识化为动态知识，发展学生的思维能力。学生动手是一种乐趣，在动手的过程，其实也是学生思维发展和知识构建的过程。寓数学思维于学生的实践操作中，让学生活跃了思维，学习了新知，提高了课堂教学效率。

2.学具操作  让规律探究更有据 

如果仅仅将操作的体验束缚于“有趣”的体感之中，则颇显浅显和乏味，学生也很容易丧失新鲜感，转而把“操作”视为“玩耍”，将“学具”视为“玩具”，进而无法发现规律，体验操作也对课堂学习产生了负迁移的效果。伽利略说：“一切推理都必须从观察与实验得来。”如何将观察与实验落到实处？这决定着本节课教学目标的达成程度，影响这教学设计的走势与进度。小学生主要以形象思维为主，而有些数学知识较为抽象难懂。学具操作是有效的教学手段，是学生学习的好帮手。在数学教学中，教师可以利用学具帮助学生了解知识的形成和发展过程，帮助理解和分析，促进思维的发展。《多边形的内角和》要让学生经历猜想、探索、推理、归纳过程，所以需要借助表格、课件等多种教学资源，协助统计与整理，减轻体感之外的短时记忆干扰、编码信息紊乱、绘图能力未完善等各方面因素，发挥教师脚手架的功效，协助学生绘制记录表格，及时提醒统计等，学生才可能会集中精力发现和探索原因，逐步对比得出结论。另外，学生在操作体验中会逐步发展合情推理能力，掌握复杂问题化为简单化的方法，对比也可初步明确简单变量间的关系（如边角关系）。在此基础上进一步激发学习热情和求知欲望。

活动一：探索四边形、五边形、六边形的内角和。

一画：动手画四边形、五边形和六边形。

二量：用量角器量一量它们的各个内角，并求出内角和。

三想：你求得的四边形、五边形、六边形的内角和和三角形内角和之间有什么关系。

本节课的教学是在学生学习量角器及三角形内角和之后，为本节课的动手操作提供了可能。以上三个环节由学生小组合作独立完成，让学生通过已有的知识经验去感知新的学习内容，在经历知识从抽象到直观的过程中不断积累新的经验。这样的设计在充分培养和锻炼学生的动手能力和实践能力的基础上，减轻了学生的负担，能让学生形成积极向上的情感，正确的态度和价值观。

三、体验交流：思维火花，语言重现

每个学生都是独立的个体，他们的认识水平、认知风格及发展的潜力各不相同，且存在较大差异。让学生经历数学的交流活动，能够改变学生认知水平的单一性，感受他人的思维方法和方式，促进学生的全面发展。改变传统教师讲授、学生练习的单一教学模式，让教师成为学生学习的组织者、引导者、合作者，有效的合作交流及争论，能让学生在倾听与争辩中，碰撞出思维的火花，营造出平等、民主的教学氛围，让课堂变得更有生命力，从而实现知识与技能、过程与方法、情感态度价值观教学目标的统一。语言对思维有固定、再现、改造作用。内部语言与思维语言都具有一定的零散性，在用外部语言交流的时候，学生必须强化自己口头表达能力的转化，将“所思”转化为他人听得懂的“所言”。从纵向的个体发展层面来讲，思维奔逸是感性体验未加工的第一资源，具有数学思维开放性的特点，语言交流是理性表达的最终呈现方式，具备数学思路逻辑性的特点，因此规律探索过程中的体验交流，可以将二者最大可能地融合，促进共同提升发展。从横向的班级数学隐形环境层面来讲，体验交流会经历一个“如切如磋，如琢如磨”的数理推理过程，被提问的学生需要讲述自己观点，学生以一向多地发言，会有“教然后知困”的冲突式体验。学生的质疑，教师的引导，教学资源的应用，数学氛围的营造，共同构建起隐形的、发展的、具有教学生态的教学环境，长期以往，数学思想则会借助集体无意识深入学生内心，促进潜力的开发和未来数学思维的发展。结合个体发展和集体发展，在小学数学教学过程中可设置最为基本的两种交流体验形式：

1.多样竞赛  激发对规律的渴望

兴趣是最好的老师，是认知的重要动力，只有让学生对知识产生兴趣，才能促使学生肯学、乐学、爱学。通过有趣的数学竞赛，师生之间的对话，能使学生知其然并且激发学生知其所以然，在调动学生积极性的基础上，让学生进入到探究中去。《有趣的乘法》一课是探究两位数乘两位数里的一些特殊情况，乘积是有规律的，发现积的规律。

本节课以老师和学生的计算比赛为导入，出示三道乘法算式：

24×11   53×11    62×11

①比一比谁的计算速度块。（心理准备体验）

②比赛结果三轮都是老师获胜。（心理冲突体验）

③设计小组合作，让学生观察这些式子的有什么共同特点，从中发现怎样的规律（数学认知体验）

④在小组交流活动中，观察敏锐的学生能够发现这些题目都是两位数和11相乘，而且最后得到的积百位上的数就是两位数百位上的数。在这样的提示下，有的孩子还能发现积的个位上的数就是两位数个位上的数。而积十位上的数则则是两位数十位和个位上数的和。（图式新构体验）

学生之间个体差异较大，有的同学语言表达能力比较弱，他能发现规律，但只会用手指指着积的个位和百位说是这两个数的和。通过这样的小组交流，在与他人意见的碰撞中，学生能够通过倾听他人见解，一步步完善自己的理解，发展自己的思维能力。课堂中, 教师要积极组织学生进行交流，善于捕捉学生的各种反馈，再组织学生进一步的思考，并且在师生、生生交流中生发出新的教学任务，让学生体验学习的乐趣，使学生成为课堂的主人。

随着学生年级的提升和年龄的增长，规律性的知识不能再用狭隘的单一视角来观察，应该将知识以体系的方式构建系统。小学阶段数与代数部分的整理与复习内容中，体验“几个几”的问题由加法向乘法的过度，学生能够理解“乘法是加法的简便运算”，比较加法和减法的逆运算关系，比较乘法和除法的逆运算关系。

板书过后，学生对于减法与除法的关系产生研究兴趣，原来最基本的运算法则之间还有着这样的规律。对于六年级的学生来说，本课及之后教学内容的学习体验是该怎样的丰富！如果尝试辅以个性化的数学探究专题：“除法、分数和比的基本性质比较”；“0不能在哪里？”；“算数方法PK方程方法”……数学教学中的规律探索应该着眼于贯穿小学数学的知识框架，不能一叶障目不见泰山，对规律发现的探究是下位学习的方法，而对知识整合的探究是穿插了阶段化、块状化的上位学习视角，将零散的知识如瓦片一般互相联系，才能真正程度上地丰富学生学习体验。

2.讨论质疑  深化对规律的理解

学生在学习的过程中，会产生各种各样的疑问，这样的疑问是基于学生的兴趣点和学习基础产生的，这些疑问可能是无效的或无意义的。如何让学生生疑、质疑、解疑、再质疑、再解疑，这些都需要教师通过各种渠道进行引导和启发。通过学生之间的讨论质疑，让学生敢于质疑，善于质疑，从不敢问到想问，从不想问到多问，从不会问到善问，并通过合作讨论，共同解决疑问，真正提高课堂效率。

在探究《多边形的内角和》，将多边形分成三角形时，通过学生独立画图，呈现了如下三种情况。

              图1                    图2              图3

教师组织学生进行讨论，哪种分法更有利于学生探究五边形的内角和。许多学生出现了图3的作图方式，即用对角线相连的方法。但有同学提出质疑：“虽然这样的方法，将其分成了不同的小三角形，但将五边形内角被分为了太多的小角，不便于得出内角和。”而图2的方式也有的同学认为太随性，没有规律可循。在大家的激烈讨论下，大家一致认为图1的方法即从一个顶点出发的分法最简便，一是有规律可循，可操作性强；二是容易得出五边形内角和，即图中三个三角形内角和为540°。

本节课的难点之一就是如何将多边形分成不同的三角形。教师通过组织这样的讨论，在学生在自述与争论中，越辩越明，掌握从一个顶点将多边形分成三角形的过程。“学贵则疑，小疑则小进，大疑则大进。”教师要善于引导学生质疑。在质疑的过程中，让学生在争论、交流中变被动吸收为主动探究，充分发挥学生的主体作用，培养他们积极主动的探索精神，提高自学能力。

教育学及心理学界长期对“学习体验”有钟摆式的波动形评价，从斯金纳所说“学习，就是行为塑造”的无感性极端，到人本主义罗杰斯“人类具有天生的学习愿望和潜能，这是一种值得信赖的心理倾向”的无理性极端。这些都是对于小学数学教育性质补充的解读，体验的过程并不能改变规律本身，能改变的只是规律探究的方法和策略。教师、学生和知识的本身是教学过程中最为基本的三个元素，教师通过情境和环节的设计，引导学生尝试学习和表达，在此过程中用丰富的体验来唤醒发自心底的潜能，用结构化的思维思考规律中的成因和奥秘。数学规律探究教学不仅交给学生丰富的知识，更是启发学生思维，发展学生智能，强化学生体验。通过引导学生有意识、有目的地进行数学探究，有利于加深学生对知识探究的体验，提升学生的思维活力，使他们获得丰富的数学活动经验，最终实现让学生在学习中体验，在体检中建构，在建构中发展。