二次函数y=ax²的图像和性质教学案例

一、教材分析

二次函数的图像和性质是在学习了一次函数图像和性质的基础上接触到第二个函数，而y=x²的图像和性质是一般二次函数的基础，对今后研究二次函数及其与一元二次方程的关系、进一步体会数形结合的思想都有重要意义。

重点：会画y=ax²的图象，理解其性质。

难点：描点法画y=ax²的图象，体会数与形的相互联系。

二、学生分析

学生已经掌握了画函数图象的基本步骤，对画函数的图象有一定经验，但二次函数的图像与以前学过的一次函数的图像不同，是一条曲线（抛物线），不借助软件直接画图进行探究比较枯燥，为了突出教学重点，突破难点和培养学生的能力，我采用几何画板作图的教学方法让学生经历体验发现问题、分析问题并进一步归纳总结的过程，利用多媒体现代教学手段，把抽象的知识直观地展现在学生面前，逐步将学生的感性认识引领到理性的思考，这样的设计充分体现了以学生为主体，老师为主导的教学理念。进一步提高学生的观察、交流、概括、总结及表达的能力，而且更进一步让学生体会到数形的转化。

三、教学目标

知识目标：

(1)经历探索二次函数y=x²的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。
 (2)能够利用描点法作出y=x²和y=1/2x²的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=ax²的性质。
 (3)能够作出二次函数y=-x²的图象，并能够比较与y=x²的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。

能力目标：

（1）通过画函数的图像，培养学生的动手能力

（2）通过结合函数图像揭示性质的教学，培养学生观察、比较、 抽象和概括的能力。

（3）培养学生用“数形结合”的思想与方法解决数学问题  

（4）通过具体的二次函数图像抽象得到一般形式的二次函数图像特征，进而得到函数的性质，让学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，体会从特殊到一般的研究问题的方法。

情感目标：

通过学生在学习活动中获得成功的体验；增强学习数学的自信心。

四、教学环境

多媒体教学

五、信息技术应用思路

1、利用几何画板软件进行教学展示与学生体验，使用教师制作的自定义工具，使学生能快速、准确的做出y=x²图像。

2、充分利用网络技术，在网络多媒体环境下，教师向学生推送学习资源，进行师生交流与学生演示。

3、在探究y=ax²图像的性质时使作几何画板软件作图技术，能直观轻松的让学生理解y=ax²的性质，使学生感性认识上升到理性认识。

六、教学流程设计

活动1：
问题1：一次函数y=kx+b和反比例函数 （k≠0）图象是什么形状？有哪些性质呢？
那么二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图像呢？------引入课题

（通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图像分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图像奠定基础）

活动2、画图像， 性质初探

问题2:你能做出二次函数y=x²的图像吗?

【教师活动】

1、在几何画板的软件环境中利用画函数的功能进行电脑作图。

2、初步感受二次函数y=x²的图像的形状，并确定画图的方法。

 【学生活动】

1、通过作图学生直观看到二次函数y=x²的图像是一条抛物线

2、学生在作图过程中体会几何画板的操作方法，学会应用。

3、应用变量作函数图像。

【信息技术支持】

几何画板中的函数作图（师演示，学生可能看不懂,几何画板画二次函数图像的步骤慢慢让学生体会并记住）

活动3、画图像 问题再探

1、作出y=2x²和y=1/2x²的图象

2、再画图，再体验

【教师活动】

问题3;这两个图像与y=x²的图像有什么相同点和不同的？（从开口方向、对称轴、顶点、对称轴左右两边升降这四个方面去观察并讨论）

【学生活动】

1、学生自己得出结论并分享

2、主要是应用变量a的变化，通过几何画板进行演示。

活动4、二次函数y=ax²的性质探究

1、同一坐标系内画出函数y=-x²、y=-2x²和y=-1/2x²的图象。

2、探究a的正负对抛物线开口方向的影响

3、再次演示几何画板中的y=ax²图像，当a变化时函数的图像变化情况

【教师活动】

1、指导，组织交流: 函数y=-x²、y=-2x²和y=-1/2x²的图象有什么相同点和不同的？（从开口方向、对称轴、顶点、对称轴左右两边升降这四个方面去观察并讨论）

注意引导学生观察，形成整体认识，便于得出规律

【学生活动】

1.学生练习，并进行思考，它们之间又在图像中各是什么位置

2.a的变化,让学生通过自己观察、思考得出结论，并且小组讨论分享。

3.在前面讨论和再次整体观察的基础上，得到全面的二次函数y=ax²的性质。

何画板技术的应用，特别是变量函数的变化，观察其图像的位置，体会几何画板技术的好处

七、教学反思

本节课采用了“问题——探究”的教学模式，教学过程注重学习方法、思维方法，注重探索方法，注重到学生的思维起点，搭建平台，同时渗透数形结合的思想，增强 学生运用数学思想方法解决问题的意识，让学生主动获取知识，同时也让学生知道这些知识是如何被发现的，结论是如何获得的，体现了“方法比知识更重要”。再加之合理的运用到了多媒体来进行教学，达到了较好的教学效果。