平面向量的坐标运算

教学目标：

1.知识与技能：会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

2.过程与方法：利用向量的坐标可以使向量运算完全代数化，实现了形向数的转化.

3.情感、态度与价值观：了解向量与其他知识之间的紧密关系，培养学生的学习兴趣及探索精神

教学过程:

(一).复习回顾:

1.向量的加法、减法：

师:已知向量a、b,如何求向量a+b、a-b?

学生回答,教师指正.

2.向量的数乘运算：

师:已知向量ａ、ｂ,如何求向量３ａ，２ｂ？如何求向量３ａ＋２ｂ？

学生回答,教师指正.

３.向量的坐标表示:

师:向量的坐标表示的定义是什么?

学生回答,教师指正,并强调:

在平面直角坐标系中，分别取与ｘ轴、ｙ轴方向相同的两个单位向量ｉ、ｊ作为基底．对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数ｘ、ｙ,使a=ｘｉ+ｙｊ.这样，平面内的任一向量a都可由ｘ、ｙ唯一确定，我们把有序数对（ｘ，ｙ）叫做向量a的坐标．

记作：a=（ｘ，ｙ）

(二).自主探究:

师：已知a=(ｘ_１，ｙ_１)，b=(ｘ_２，ｙ_２)，你能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？请同学们自己探究一下.

(学生自主探究,得出结论,然后讨论交流)

生:a＋b=(ｘ_１i＋ｙ_１j)＋(ｘ_２i＋ｙ_２j)，

由向量线性运算的结合律和分配律，可得

(ｘ_１i＋ｙ_１j)＋(ｘ_２i＋ｙ_２j)＝(ｘ_１＋ｘ_２)i＋(ｙ_１＋ｙ_２)j

即

同理

师：通过以上计算，你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量的积的运算法则吗？

生：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

(三).尝试练习：

1.如图，已知A(x_１，y_１)，B(x_２，y_２)，求的坐标.

学生练习，教师指名回答.

生:=-=(x₂ ,y₂)-(x₁ ,y₁)=(x₂-x₁ ,y₂- y₁)

师:你能用语言描述一下吗？

生：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标.

师：你能在图中标出坐标为(x₂-x₁ ,y₂-y₁)的点P吗?

生：把平移到以原点O为起点，则终点即为所求的点P.

师:你能发现向量的坐标与向量的坐标之间的关系吗?

生:向量的坐标与向量的坐标是相等的.

师:这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系,而点的坐标与有序实数对是一一对应的,所以向量的坐标与有序实数对也是一一对应的.

2.已知ａ＝（２,１）,ｂ＝（－３,４）,求ａ＋ｂ,ａ－ｂ,３ａ＋４ｂ的坐标.

学生练习，教师指名回答.

3.如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是

（－２，１），（－１，３），（３，４），试求顶点D的坐标。

师:用哪些向量的运算可以求得点D的坐标?本题的解法比较多,请同学们根据所学的知识自己设计解题方法.(学生思考)

师:你能说说自己的解题思路吗?

选择不同思路的学生回答,通过交流,加深对问题的认识,不同思路之间得到相互启发.然后选择不同思路的学生板书解题过程,其他学生各自解题,完成后与课本上的解答进行比较.

师:你能说说各种解法的特点吗?不同解法中体现了哪些数学思想?

请学生点评,教师总结.

变式训练：

1.已知平行四边形ＡＢＣＤ的顶点Ａ（－１，－２）、Ｂ（３，－１）、

Ｃ（５，６），求顶点Ｄ的坐标．

学生练习,指名回答.

2.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是A（－２，１）、B（－１,３）、

C（３，４），试求第四个顶点D的坐标．

师:思考一下本题与尝试练习3有何区别?本题有几种情况.

学生思考后,指名回答,最后教师总结.

(四).巩固练习:

1.已知向量a,b的坐标，求a+b,a-b的坐标：

(1)a=(-２,4),b=(5,2).

(2)a=(4,3),b=(-3,8).

(3)a=(2,3),b=(-２,-３).

(4)a=(3,2),b=(0,4).

2.已知a=(3,2),b=(0,-1),求-2a+4b,4a+3b的坐标.

３.已知A、B两点的坐标,求的坐标：

（１）A（３,５）,B（６,９）.

（２）A（-３,４）,B（６,３）.

（３）A（０,３）,B（０,５）.

（４）A（３,０）,B（８,０）.

(五).课堂小结:

师:这节课我们都学习了哪些问题?

学生自己归纳、总结,培养学生的归纳概括能力和语言表达能力,最后教师点评.

1．已知a=(ｘ_１，ｙ_１)，b=(ｘ_２，ｙ_２)，

2.

2.

３.学习了应用平面向量以及方程的思想和数形结合的思想解决平面几何问题的方法.

(六).课后作业:

课本P101、习题2.3、1、2、3.