平面向量的概念及其线性运算

【学习目标】
1、理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；
2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；
3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；
4、了解向量线性运算的性质及其几何意义。
【学习要点】
1、向量概念
________________________________________________________叫零向量，记作 ；长度为______的向量叫做单位向量；方向___________________的向量叫做平行向量。
规定： 与______向量平行；长度_______且方向_______的向量叫做相等向量；平行向量也叫______向量。
2、向量加法
求两个向量和的运算，叫做向量的加法，向量加法有___________法则与______________法则。
3、向量减法
向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，记作_________________________，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
4、实数与向量的积
实数 与向量 的积是一个_______，记作________，其模及方向与____的值密切相关。
5、两向量共线的充要条件
向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得__________。
【典型例题】               

例1  在四边形ABCD中， 等于               （    ）
A、            B、          C、         D、 
例2  若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且 ， ，则 、 表示向量 为                                            （    ）
A、 +        B、 —        C、— +        D、— — 
例3  设 、 是两个不共线的向量，则向量  与向量 共线的充要条件是                                （    ）
   A、 0       B、         C、 1          D、 2
例4  下列命题中：
   （1） = ， = 则 = 
   （2）| |=| |是 = 的必要不充分条件
   （3） = 的充要条件是 
   （4）  =  （  ）的充要条件是 = 
其中真命题的有__________________。
例5  如图5-1-1，以向量  ，
 为边作平行四边形AOBD，又 ，
 ，用 、 表示 、 和 。
图5-1-1
【课堂练习】
1、   （    ）
        A、          B、          C、            D、 
2、“两向量相等”是“两向量共线”的（    ）
        A、充分不必要条件                B、必要不充分条件   
        C、充要条件                      D、既不充分也不必要条件
3、 已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则 等于                                               （    ）
       A、  
 B、  
C、    
D、    
4、若| |=1，| |=2， =且 ，则向量 与 的夹角为（    ）
       A、300       B、600       C、1200       D、1500
【课堂反思】

2.2 平面向量的坐标运算
授课人：陈银辉
【学习目标】
1、知识与技能：了解平面向量的基本定理及其意义、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
2、能力目标：会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；
3、情感目标：通过对平面向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学生的转化能力。
【学习过程】
1、平面向量基本定理
如果 、 是同一平面内的两个         的向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 使                            ，其中不共线的向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组          。
2、平面向量的正交分解及坐标表示
把一个向量分解为两个互相       的向量，叫做把向量正交分解。在平面直角坐标系内，分别取与 轴、 轴正方向相同的两个           向量 、 作为基底，对任一向量 ，有且只有一对实数 、 使得                 ，则实数对（ ， ）叫做向量 的直角坐标，记作 =              ，其中 、 分别叫做 在 轴、 轴上的坐标， 叫做向量 的        表示。相等向量其坐标       ，坐标相同的向量是         向量。                                                 
3、平面向量的坐标运算
（1）若 = ，  = ，则   =                            
（2）若A ，B ，则                      
（3）若 =（ ， ），则                      
4、平面向量共线的坐标表示
若 = ， = ，  则 // 的充要条件是                       
5、若 ，其中 ，则有：
                                     ；
                                        。
【典型例题】
例1  设 、 分别为与 轴、 轴正方向相同的两个单位向量，若 则向量 的坐标是（    ）
     A、（2，3）     B、（3，2）      C、（—2，—3）   D、（—3，—2）
例2  已知向量   ，且 // 则 等于(  )
   A、       B、—        C、         D、— 
分析   同共线向量的充要条件易得答案。
例3  若已知 、 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是                                                        (    )
A、 与—     B、3 与2     C、 + 与 —     D、 与2 
例4  已知 当实数 取何值时，  +2 与2 —4 平行？

【课堂练习】
1、已知 =（1，2）， =（—2，3）若  且 
则 ____________, _________________。
2、已知点A（ ，1）、B（0，0）、C（ ，0），设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有 其中 等于(    )
   A、2         B、             C、—3          D、 
3、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A 若点C满足 ，其中 、 且 + 则点C的轨迹方程为                                                              (    )
A、            B、 
C、                 D、 
4、已知A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）且 ， 求点M、N的坐标及向量 的坐标。
【课堂反思】

2.3 平面向量的数量积及其运算
授课人：曾俊杰
【学习目标】
1．知识与技能：
（1）理解向量数量积的定义与性质；
（2）理解一个向量在另一个向量上的投影的定义；
（3）掌握向量数量积的运算律；
（4）理解两个向量的夹角定义；
2．过程与方法：
（1）能用投影的定义求一个向量在另一个向量上的投影；
（2）能区别数乘向量与向量的数量积；
（3）掌握两向量垂直、平行和反向时的数量积；
3．情感、态度与价值观：
（1）培养学生用数形结合的思想理解向量的数量积及它的几何意义；
（2）使学生体会周围事物周期变化的奥秘，从而激发学生学习数学的兴趣；
（3）培养数形结合的数学思想；
【学习过程】
1、请写出平面向量的坐标运算公式：
（1）若 = ，  = ，则   =                 
（2）若A ，B ，则                     
（3）若 =（ ， ），则                   
2、平面向量共线的坐标表示
若 = ， = ，  则 // 的充要条件是             

3、两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，作 ＝ ， ＝ ，则_________________________叫 与 的夹角.
4、我们知道，如果一个物体在力F（与水平方向成θ角）的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=      

5、数量积的概念：
（1）两个非零向量 、 ，过O作 = ， = ，则∠AOB叫做向量 与 的夹角，显然，夹角                
（2）若 与 的夹角为90 ，则称 与 垂直，记作 ⊥ 
（3） 、 是两个非零向量，它们的夹角为 ，则                 叫做 与 的数量积（或内积），记作 • 。
即 • =| |•| |•cos 
规定 • =0，显然，数量积的公式与物理学中力所做功的运算密切相关。
特别提醒：
（1） （０≤θ≤π）.并规定 与任何向量的数量积为0 
（2） 两个向量的数量积的性质：
设 、 为两个非零向量，
1)  ^  Û     = 0
2) 当 与 同向时，    = | || |；当 与 反向时，    = -| || | 
 特别的    = | |2或.
3) cosq =  ；
4) |   | ≤ | || |

6、“投影”的概念：如图
               
定义： _____    _______叫做向量b在a方向上的投影 
特别提醒：
投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|

3、平面向量数量积的运算律
交换律： =______
数乘结合律： =_________=__________
分配律： =_____________

【典型例题】
例1 边长为 的正三角形ABC中，设 ，  ， 则
 =                  

例2 已知△ABC中， ， ， ， ABC的面积 ，且| |=3，| |=5，则 与 的夹角为                   
例3  已知 =（1，2）， =（6，—8）则 在 上的投影为                   

【课堂练习】
1、已知 、 均为单位向量，它们的夹角为 那么 =                 

2、已知单位向量 与 的夹角为 ，且 ， ，求 及 与 的夹角 。
3、若 ， ，且向量 与 垂直，则一定有(    )
    A、      B、        C、      D、 且 
4、设 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题
①     
  ②   
③  不与 垂直
④  
其中正确的有（     ）
A、①②       B、②③       C、③④         D、②④
5、已知平面上三点A、B、C满足 ，则
 的值等于____      ______
【课后反思】
 

2.4 平面向量的应用
授课人：刘晓聪
【学习目标】
一、知识与技能
1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学 问题与其他一些实际问题的 过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力
2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力 
二、过程与方法
1.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题 
2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行 之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.[来源:学科网]
三、情感、态度与价值观
1.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力.
2.通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知 识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.

【学习过程】
请认真思考后，回答下列问题：
1、判断：
（1）若 四点共线，则向量 （     ）
（2）若向量 ，则 四点共线（     ）
（3）若 ，则向量         （     ）
（4）只要向量 满足 ，就有   （     ）
2、提问：
（1）两个非零向量平行的充要条件是什么？（你能写出几种表达形式）

（2）两个非零向量垂直的充要条件是什么？（你能写出几种表达形式）

【典型例题】
例1  已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，求BC长．

变式  已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，点D在线段BC
上，且BD=2DC求AD长．

例２  如图，已知Rt⊿OAB中，∠AOB＝90o，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM=1，N在OA上，且ON=1，P为AM与BN的交点，求∠MPN． 
【课堂练习】
⊿ABC中，AD，BE是中线，AD，BE相交于点G
（1）求证：AG=2GD
（2）若F为AB中点，求证G、F、C三点共线．