3. 勾股定理的应用

湖村中心学校 李小娟

一、教学任务分析

  本节课的教学目标是：

  1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．

 2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．

 3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．

   利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点．

二、教学过程分析

第一环节：情境引入

情景1：多媒体展示：

提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？

情景2：

如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？

第二环节：合作探究

学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．

（1）　       （2）　　 　（3）　　  　 （4）

学生很容易算出：情形（1）中A→B的路线长为：，

情形（2）中A→B的路线长为： 

所以情形（1）的路线比情形（2）要短．

学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA^’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．

如图：

（1）中A→B的路线长为：．

（2）中A→B的路线长为：>AB．

（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB．

（4）中A→B的路线长为：AB．

得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB？

第三环节：做一做

内容：

李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，

（1）你能替他想办法完成任务吗？

（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？

（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？

解答：（2）

∴AD和AB垂直．

第四环节：小试牛刀

内容：

1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？

解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点，乙到达C点．则:

AB=2×6=12（km）

AC=1×5=5（km）

在Rt△ABC中:

  ∴BC=13（km）．

即甲乙两人相距13 km．

2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．

解答：.

3．有一个高为1.5 m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5m，问这根铁棒有多长？

解答：设伸入油桶中的长度为x m．

则最长时:

∴最长是2.5+0.5=3（m）．

最短时: ．

∴最短是1.5+0.5=2（m）．

答:这根铁棒的长应在2～3m之间．

第五环节：交流小结

师生相互交流总结：

1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．

2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．

第六环节：布置作业

1．课本习题1．4第1，2，3题．

2．如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?