《探索勾股定理》教学案例分析与反思

在教学中，设法使学生在接受数学知识的过程中，融入主动的探究、发现等活动，让学生有机会通过自己的归纳概括获取知识，让学生感受到数学来自生活，数学就在身边，数学就在自已的手中。以下教学案例就是在新课程标准下的一个尝试。

教材分析：

勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起到重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

教学目标：

1、 学习掌握勾股定理及内容，并能进行简单证明。

2、 培养动口、动手、动脑的综合能力，并感受从具体到抽象的认识规律。

教学重点：  勾股定理的证明和应用。

教学难点：  拼图、用计算面积的方法证明勾股定理。

教学方法:

1、教师教法： 引导发现、尝试指导、实验探究相结合。

2、学生学法： 积极参与、动手动脑与主动发现相结合。

师生互动活动设计：

教学过程:

1创设情景，引入新课

师：（结合动画讲故事）西周开国时期，周公非常爱才，他和喜欢钻研数学的商高是好朋友。有一天，商高对周公说，最近我又有一个新的发现，把一根长为7的直尺折成直角，使一边长（勾）为3，另一边长（股）为4，连接两端（弦）得一个直角三角形，周公您猜一猜第三边的长等于多少?周公摇头不知道。

同学们，你们猜猜是多少？

生：5！

生：不知道！

师：不知道也没关系，我们来量一量斜边的长就知道了。（动画演示）

师：后来又发现，直角边为6、8的直角三角形的斜边的长是10。这两组数据是否具有某种共同点呢？带着这个问题人们对直角三角形做了进一步的研究，通过计算三条边长的平方发现，直角三角形中的三条边长之间还真有一种特殊的关系。同学们也来算一算、猜一猜看，它们之间到底有什么样的关系呢？

生：32+42=52、62+82=102

师:这是两组特殊数字，但由此引发一个有待我们深入思考的问题，看哪位同学有新问题要提？

生：一个任意的直角三角形的三边是否也有这种相等关系呢？

师：这个问题提得好！我们用几何画板再做一个直角三角形来多实验几次，请注意观察。（任意改变三边的长，度量、计算显示相等关系依然不变。） 

师：通过实验，可以得到什么结论？（或问同学们发现直角三角形的三边有什么样的关系？）请同桌商量讨论后把你们的结论用文字语言或数学式子表达出来。

生：直角三角形的三边满足：两直角边的平方和等于斜边的平方。

即   a2+b2=c2

师：同学们概括得非常好！这个结论尽管是通过多次实验得到的，但要说明它对任意的直角三角形都成立，还有待进行证明。首先我们要明确，在什么图形中要证明什么结论？

生：在直角三角形中证明a2+b2=c2

师：怎样证明呢？（学生茫然）这个问题是有点难度，让我们先来观察这个要证明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？ 

生：表示直角三角形的三条边长。

师：a2、b2、c2是边长的平方，由边长的平方可联想到什么图形？

生：正方形。正方形的面积。

师：对整个等式你们怎样理解？

生：等式可以理解为两个正方形的面积和等于一个正方形的面积。

师：那好，下面我们就来做一个拼正方形的游戏，看能不能对我们证明结论有些帮助。

（这一环节利用故事情节引入，是为了引起学生的注意，激发学生的学习兴趣，调动学生满腔热情地投入学习过程。在问题情景中引导学生提问，是为了培养学生问问题的意识，让学生主动地带着问题在实验的过程中去感受数学的再发现。）

2、动手拼图，合作探索定理证明方法

师：现在，前后4人为一个小组，老师给每小组提供了拼图模型两套，要求每一套模型拼成一个没有空隙且不重叠的正方形。拼好后请上台展示你们的成果，比一比，看哪一组完成任务最快。

（这里充分利用了初中学生的好奇心和好胜心,给静态知识注入了活力，同时在课堂上增添了观察、探究等可形成能力的新因素。这样不仅可以调动学生的已有经验，沟通相关知识，而且还能培养学生观察、动手实践的能力。另外，在整个拼图过程中，学生自始至终处于主体位置上，老师只是他们的学习合作伙伴，在巡视的同时，给个别小组以适当指导。这样的设计体现了数学活动的教育思想，有利于学生在建构的环境中，真正主动的建构自己的理解。）

待各组同学基本完成后，挑选出一组拼图和同学们共同分析：

师：同学们对比自己拼成的两个图形，看看它们有什么共同点和不同点？

生：都是边长相等的正方形，但拼图的模型不同。

生：这两个正方形的面积相等。

师：这两个正方形的面积怎样计算呢？通过你的计算能否证明a2+b2=c2？请试一试。

师：看哪两位同学愿意上来写出证明过程。

生甲：证明 ： ∵两个正方形的面积相等，

∴4×(ab÷2)+a2+b2=4×(ab÷2)+c2

∴a2+b2=c2

生乙：证明 ： ∵(a+b)2=4×(ab÷2)+c2

∴a2+2ab+ b2=2ab+ c2

∴a2+ b2= c2

（证明逐步深入，是为了启发学生把形的问题转化为数的问题，联想到用计算面积的方法证明a2+ b2= c2，从而突破教学难点。）

师：两位同学刚才用两种不同的方法证明了实验得出的结论，这就是我们今天要学习的勾股定理。请两位同学再谈谈你们的证明思路好吗？

生甲：图（A）的面积用四个全等的直角三角形的面积加两个正方形的面积，图（B）的面积用四个全等的直角三角形的面积加一个正方形的面积，利用面积相等就证得结论。

生乙：我把图（B）用两种不同方法计算它的面积也能证得结论。

师：说得非常好！甲同学的证明思路正好符合我们前面对等式的理解；乙同学的证明思路启发我们还可以通过拼各种不同的图形来证明勾股定理。美国第十二任总统伽菲尔德有一天外出散步，遇到两个伏在石板上冥思苦想的男孩，总统上前问他们遇到了什么麻烦？一男孩说：“先生，您知道怎样证明勾股定理吗？”总统一时语塞，无法解释，于是匆忙回家研究，得出了拼直角梯形证明勾股定理的方法。（多媒体展示拼图）按这个拼图也能证明勾股定理吗？请试试看。

生：根据拼图，用两种方法计算梯形的面积就能证明勾股定理。

师：对！这种思路很好。证明勾股定理的方法很多，有兴趣的同学课后可以上网查询相关资料，也可以尝试拼出不同的图形对勾股定理给予证明。

（多媒体展示拼图，提供网址。启发学生一题多证，多题归一是为了培养学生思维的灵活性和创新性。）下面我们来看看勾股定理能帮助我们解决什么问题？

3课堂练习

（1）在Rt△中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c

(a) 已知a=1，b =2， 则c=   

(b) 已知a=15，c=17，则b=   

(c) 已知c=25，b=15，则a =   

（2）一个底边长为6，腰长为5的等腰三角形， 求底边上的高和面积。

（3）李明上学经过的路旁有一小湖，隔湖相对有两棵树A、B， 但无法直接测量出A、B之间的距离。请你帮他设计一个解决问题的方案好吗？（这是一道与生活实际贴近的开放题，鼓励学生用所学知识解决实际问题，培养学生应用数学的意识。）

4小结 

师：通过以上练习，同学们可以感受到勾股定理有什么作用？

生：用勾股定理可以解决在直角三角形中已知两条边求第三边的问题。

师：说得非常好！在这一节课中，你们还学会了什么？

生：通过拼图学会了用计算面积的方法证明勾股定理。

师：同学们总结得非常好！勾股定理的应用非常广泛，它是联系数学中数与形的第一个定理，是数形结合思想的最初体现，自从我国古代数学家发现勾股定理后，它对数学产生了巨大的作用和影响，我们不仅要为之自豪，更要切实学好它。

【教学反思】

学校课堂教学中学生的创新活动，绝大多数不是一种发明创造，而是创新素质的表现和培养过程. 学生的创新活动得到什么结论是次要的，重要的是使学生的创新素质得到培养，这是中学数学课堂教学创新教育的价值取向.

本节课的教学过程由激趣、质疑、实验、活动、探法、交流、延伸七个步骤构成.

本节课的成功之处：

1、故事激趣收到了良好效果，学生产生了质疑意识，教师顺势利导，提出问题，紧扣了中心。

2、由于实现了教师角色的转变，教法的创新，师生平等，关系融洽，气氛活跃，课堂民主，学生积极参与，在他们心底涌现了一股浓浓的学习欲望.

3、面向全体学生，以人为本的教育理念落实到位，主体性得到充分体现.由于实现了学生角色的转变，学法的创新，整节课几乎都是学生自主实验、自主探索、自主完成由形到数的转化，学生的主动性及合作精神都体现出来了。教师只是作为他们的一分子参与研究，起组织、引导的作用.

4、通过动手实验，并经推理论证，学生取得了勾股定理的新证法研究成果，一些新思路延伸到课外研究。

5、研究成果不仅极大地丰富了学生对勾股定理的证明的认识，而且学生从中获得了利用已知探求未知数学知识的能力和方法，创新素质得到了培养和提高，这对学生今后的学习和将来的发展是大有裨益的。

【教学评析】

这节课主要采用讲、看、思、问、做等多种教学手段，通过激趣、质疑、实验、活动、交流等环节，围绕如何培养学生的创新意识、创新精神和创新能力，进行了很有价值的探索。

本节课的教学活动分以下几个阶段进行：第一阶段是教师讲述“折尺的学问”的故事引入新课，以激发兴趣，鼓励质疑，意在培养学生的探究意识。———交流收获，，第二阶段是通过计算猜测、实验探究直角三角形三边之间的关系，学生总结勾股定理的证明方法和步骤。第三阶段是拼图验证再发现的结论。此时，学生的兴趣大增，利用学具独立或分组进行拼图实验。更加强了学生的创新思维、创新技能、创新情感和创新人格的培养。第四阶段是随堂训练掌握定理的基本应用。第五阶段是归纳小结，教师在充分肯定学生取得成绩的同时，再次引导学生将研究延伸到课外。

总之，本节课之所以取得令人满意的教学效果，是因为教师树立了新的教育观念，转变了教师角色，将以育人为本的理念落到实处；师生平等，课堂民主；教法创新，精心设计和准备，科学的组织和安排，合理使用了多媒体教具和学具。