§5.1　平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念

2.向量的线性运算

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

知识拓展

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．

3.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果e₁，e₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ₁，λ₂，使a＝λ₁e₁＋λ₂e₂.

其中，不共线的向量e₁，e₂叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则

a＋b＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，a－b＝(x₁－x₂，y₁－y₂)，

λa＝(λx₁，λy₁)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则＝(x₂－x₁，y₂－y₁)，||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，其中b≠0.a，b共线⇔x₁y₂－x₂y₁＝0.

知识拓展

1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．设a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，如果x₂≠0，y₂≠0，则a∥b⇔＝.

§5.3　平面向量的数量积

1．向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．

2．平面向量的数量积

3.平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

特别地，a·a＝|a|²或|a|＝.

(4)cos θ＝.

(5)|a·b|≤|a||b|.

4．平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

5．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则a·b＝x₁x₂＋y₁y₂，由此得到

(1)若a＝(x，y)，则|a|²＝x²＋y²或|a|＝.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝.

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则a⊥b⇔x₁x₂＋y₁y₂＝0.

(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝ .

知识拓展

1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；

两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．

2．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a²－b².

(2)(a＋b)²＝a²＋2a·b＋b².

(3)(a－b)²＝a²－2a·b＋b².

§5.4　平面向量的综合应用

1．向量在平面几何中的应用

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：

(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：

平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．

2．向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．

3．平面向量在物理中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．

(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．

4．向量与相关知识的交汇

平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．

知识拓展

1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.

2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．

向量

（18年）6．在中，为边上的中线，为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

（17年）13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |=        .

（16年）13．设向量a=（m，1），b=（1，2），且|a+b|²=|a|²+|b|²，则m=            .

（15年）（7）设D为ABC所在平面内一点，则（  ）

（A）  (B) 

（C）   (D) 

（14年）15.已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为      .

（13年）13.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.

（12年）（13）已知向量夹角为 ，且；则

（11年）（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题

其中的真命题是

（A）      （B）        （C）         （D）

建议着重复习向量的概念和基本运算，特别是几何意义方面。

§5.5　复　数

1．复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．

(2)分类：

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．

3．复数的运算

(1)运算法则：设z₁＝a＋bi，z₂＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

如图给出的平行四边形OZ₁ZZ₂可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.