【考查重点难点】

从2014~2017年新课标全国高考数学卷汇总表可以看出，考查立体几何的题型题序相对稳定．试卷常常设置两道小题（大部分以选择题形式呈现，有时也以填空题的形式呈现），一道解答题，合计22分．小题一道相对容易、一道中等或中偏上难度（有时在压轴题的位置）；解答题一般在18或19题的位置，属中档题，难度不是太大.下面主要以全国高考数学卷为例，分析学生解答立体几何试题存在的问题，寻找解决问题的对策，并提出几点备考对策，供老师们高三复习参考.

【存在问题分析】

（一）识图、作图、用图能力弱

【指点迷津】识图、作图、用图能力的培养，直接影响着空间象能力的形成. 学生的识图、作图、用图能力弱，通常表现在不能正确地画出几何体的三视图、不会还原三视图或还原成错误的几何体、不会识别几何体中的空间点、线、面的位置关系、把握不清空间图形中的数量关系、不能恰当地利用变换处理图形、不会运用基本图形思考问题和解决问题、混淆展开和折叠前后图形中的变量与不变量等.

（二）定义概念模糊不清

【指点迷津】数学概念不仅仅是明晰研究对象，也是数学思考问题、解决问题的出发点. 立体几何中的概念、定义模糊不清主要表现为：1. 文本描述与几何体形状无法匹配，即看到概念的文本描述，头脑中无

法形成与之相应的几何体；2. 没考虑定义的限制条件，如各类角的取值范围，如很多学生就常常忘记异面直线所成的角的取值范围而导致解题结果错误等.

（三）定理性质理解不透

【指点迷津】定理性质理解不透，会导致推理论证欠严谨或思路不明. 学生在使用定理进行推理时，往往表现出如下的错误：1. 定理条件掌握不全，如学生们在使用直线与平面平行的判定定理时，常常遗忘“已知直线一定要在平面外”这个关键的条件；2. 受初中平面定理的负迁移影响导致对立体几何相关定理的理解错误；3. 符号书写不规范.如直线与平面是包含与不包含的关系，却常写成是属于与不属于的关系等.

【解决问题对策】

（一）重树图形观念

【指点迷津】立体几何的研究对象是空间图形，重点研究的是空间图形的形状、大小及其相互关系，其主要特点是借助于图形进行推理，图形成了思维的重要载体，图形能帮我们直观地感受空间线线、线面、面面的位置关系，培养空间想能力．因此，我们重视图形观念的树立，正确地识别空间图形、合理地构建空间图形、灵活地运用空间图形，这是求解立体几何问题的关键之一.

（二）构建认知结构

【指点迷津】把立几知识网络生成知识树形图，把树形图画在笔记本上，真真切切形成自己可以随取随用的知识树、知识网，便于在解答问题时引起条件反射，并联系到相应的数学概念、公式、公理、判定定理和性质定理，运用恰当的方法解题．立体几何的解题过程就是逻辑推理的过程，也是不断进行代数运算、几何直观的过程.

（三）领悟两种互化

【指点迷津】1. 数学语言的相互转化. 线线、线面、面面的判定定理和性质定理的文字语言、符号语言、图形语言的相互转化，是证明空间平行（垂直）的前提. 如我们常把“面面平行（垂直）问题”转化为“线面平行（垂直）问题”，再转化为“线线平行（垂直）问题”．在解决平行（垂直）关系的判定时，一般遵循从“低维”向“高维”的转化；而应用性质定理时，其顺序则正好相反．2. 空间与平面的相互转化.空间问题平面化是解决立体几何问题的基本策略，不能仅是当成一句口号，要将它落实到对立体几何的定义、定理中，应用到求解立体几何问题中，这是我们研究和解决立何几何问题的思维模式.上述的两种转化，也体现了数学学习对立统一的辩证思维，它可以帮助学生学会数学地阅读、理解、交流，进而更深刻地理解立体几何问题，并学会解决问题.

（四）分析与综合并用

【指点迷津】分析法与综合法是数学的基本思维方式之一，必须要遵循的，它有助于推理论证能力的培养.事实上，求解立何几何问题中，在观察图形并弄清条件和结论的基础上，我们要两头并进，常常需要进行这样的追问：1. 由条件想性质：“由条件可以得到什么”，如题目中有直线与平面平行或垂直、平面与平面平。行或垂直这样的条件，可以联想这种位置关系的性质定理是什么？能得到什么？需要添加什么样的辅助线（或面）？这样一想，有时解题思路会很快在头脑中形成.2. 由结论想判定：“结论需要什么条件才能成立”如果题目要证直线与平面平行或垂直、平面与平面平行或垂直这样的结论，可以联想这种位置关系的判定定理是什么？根据这个判定定理，结合已知条件，定理中哪些条件已经有了？还需要什么（五）活用求解方法

【指点迷津】1. 一般来说，解决立体几何问题的方法包括传统法与向量法. 用传统法解决问题时，能够看清问题的实质，但面对复杂的问题时，有难度，需要较强的空间想象能力和逻辑思维能力；用向量法解决立体问题，具有模式可遵循，体现了它的优势. 具体解决问题时，要具体分析，灵活选用，才能提高解决问题的能力.2. 重视对典型问题求解的基本思想方法的掌握，做到应用自如，形成技巧.如有关多面体的三视图问题，常构造“长方体”或“正方体”，即可轻松破解此类问题．以球为背景的多面体或旋转体与其切接问题，常需利用“优美直角三角形”或构造长方体给予解决．求不规则的几何体的体积常用“割补法”和“等体积变换法”等．常用向量法求空间角：求异面直线所成的角就是先求出两异面直线的方向向量，再求出这两向量的夹角的余弦值的绝对值，即为该两异面所成角的余弦值．求线面所成角就是求出该直线的方向向量与该平面的法向量，再利用两向量的夹角的余弦值的绝对值，即可得到线面所成角的正弦值．求二面角就是求出两个平面的法向量，再求出这两向量的夹角的余弦值，判断空间几何体的特征，从而得空间二面角的大小，注意这三种角的取值范围与所成角公式的区别点．对不易直接求点面距离的问题，通过构造三棱锥，把问题转化为求三棱锥的高，再利用等体积法，转化为易求的三棱锥的高的体积，通过方程思想，即可求出三棱锥的高，从而得到所求的点面距离．

条件？需要添加什么样的辅助线或辅助面？

（六）规范解题过程

【指点迷津】在平时的立体几何的考试训练中，加强审题能力（读题与观图），强化立体几何解题的规范性训练，同时加强逻辑表达能力的训练，并提升运算求解能力（如空间的点的坐标、向量的坐标，以及法向量的计算一定不要出错）．加强规范化训练是提高成绩的保证，立体几何解答题的证明过程要做到“步步有理有据”，要分清主次，要理清哪些步骤是必须写的（如建立空间直角坐标系方面，不被“图”迷惑了双眼，需找准或盯准两两垂直的“三只脚”．建立空间直角坐标系，既要注意建成右手系，还需注意图形的画与标注），即得分点，哪些步骤是可以在演草纸上演算的，只有“精”写过程，才能节约时间，答题过程也才能简捷、清晰．当然“精”写过程是建立在写全步骤的基础之上的，任何的“跳步”书写都容易产生歧义，都是要失分的．除了步骤要写“精”以外，结果还要做“对”．“会而不对”的现象是很常见的，这也是制约“得分”的“致命点”．在训练之后，应尽可能的及时订正，从根源上找到错因所在，适时总结知识上存在的不足, 真正做到审题到位，思维全，下笔准，答题快．