浅谈如何培养学生的数学思维能力

　　摘要：作为一名教师，在教学过程中，要注重创设情境，培养学生创新思维能力；要注重“变式”教学培养学生发散思维能力；要注重数形结合培养学生直觉思维能力；要注重回顾反思提高学生思维能力。
　　关键词：创新思维；发散思维；直觉思维；思维能力
　　思维能力是各种能力的核心，开发并提高学生的智力主要应着眼于培养和锻炼学生的思维能力。思维是由人们的认识需要引起的，没有认识需要就不会引起思维。在日常教学中，要改变那种传统的教学模式，改变那种重知识量的堆塞为重思维能力的培养。为此，在教学中，教师应在熟练掌握课标与教材的基础上，设计各种方案，采取各种措施，千方百计促使学生以积极的态度去主动学习，主动思考，主动探索。下面根据自己多年的教学工作实践，谈谈几点具体做法。
　　一、通过创设教学情境培养学生创新思维能力
　　大家都知道故事是学生最喜爱的文学形式，通过讲故事引入教学能激发学生强烈的求知欲望。比如：我在讲授等比数列求和公式时，首先讲一个数学故事：国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说：国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到第64个格子，请给我足够的粮食来实现上述要求。”你认为国王有能力满足发明者上述要求吗？学生深深被故事吸引，热情高涨，有人说能，有人说不能。这时教师引导学生：谁能把麦子总数表示出来。学生们很快得出S=1+2+22+23+…+…①，这是一个等比数列的求和问题，如何求这个和呢？学生们很迫切想知道问题的答案，积极思考，很快就找出办法，将①的两边都乘以2得到2S=2+22+23+…+…②。将②-①得S=-1，利用计算器，学生们很快得到了想要的答案，尝到了成功的喜悦。我趁热打铁，和学生一起探索一般等比数列的求和方法――错位相减法。
　　二、通“变式”教学培养学生发散思维能力
　　“变式”教学，可以培养学生的发散思维，能使学生沿不同角度、不同侧面去思考，沿多方面去寻求答案的展开性的思维方式。在教学中，我采用“变式”教学，运用“一题多变、一图多变、一问多解、一法多用”等手法，让学生从不同角度运用不同方法去求解，开拓引伸，从而培养学生的发生思维能力。例如课本中的一道几何题：“已知AD是ΔABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点，求证AF=FC”。在分析与论证本题以后，不失时机地引导学生对原题的条件与结论作了以下变换：（1）将E是中线AD的中点，改为E是中线AD上的一点，且AE=■DE，那么AF与FC间的关系如何？（AF=■FC）（2）将BC边的中点D改为D是ΔABC的BC边上的点，且BD=■DC，E是AD的中点，那么AF与FC间的关系如何？（AF=■FC）（3）再改为：D是ΔABC的BC边上的点，且BD=■DC，E是AD上的点，且AE=■DE，那么AF与FC间的关系如何？（AF=■FC）这样步步变化深入，既发展了学生的探究思维能力，又综合性地复习与巩固了已学的有关知识，取得了很好的教学效果。
　　三、通过数形结合培养学生直觉思维能力
　　关于数与形和思维的关系，华罗庚曾有过很精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。”这句话指出了直觉在数形结合中的重要作用，也让我们初步认识数形结合的思想方法在数学思维中的地位。在高中数学教学中，不失时机地渗透数形结合思想可以培养学生多种直觉思维能力。
　　例：求f（x）=■-■的最值。
　　分析：根据根号下表达式的特征，可联想到距离公式。设P点的坐标为（x，0）；A点的坐标为（0，4），B点的坐标为（3，2）。于是问题变为在x轴上求一点P0，使其与A和B距离的差最大。由于三角形两边之差小于第三边，因此当P0点为线段AB延长线与x轴的交点时，f（x）有最大值AB。通过计算可知AB=■=■。这个问题获得解决是数形之间的有效沟通，把函数问题中带根号的表达式与解析几何中两点的距离公式建立联想。因此教学中要重视学生从数学知识中提炼本质的规律，建立数形有效沟通，使数学思维形成网状结构，进而达到培养思维能力的目的。
　　四、通过回顾反思提高学生思维能力
　　波利亚在《怎样解题》一书中把解题过程概括为“审题―探索―表达―回顾”四个环节，明确指出解题回顾是解题过程的最后一个环节，然而在实际教学过程中，大家只注重指导学生如何去读题、审题如何去探索、寻找解题思路，却常常忽略了解题回顾这个环节，发挥不了解题回顾活动应有的教育功能，这对培养学生创新精神和发展数学创造性思维无疑是一种损失。解题反思是重要的思维活动，它是思维活动的核心和动力，它能从多角度、多层次对解决问题进行全面分析思考，从而深化对问题的理解，有助于优化思维品质，提升数学思维能力。结合平时教学实践，举如下例子加以探索：“题目：过点B（1，1）能否作直线L，使它与双曲线x2-■=1交于Q1，Q2两点，且点B是线段Q1Q2的中点？如果存在，求出方程；如果不存在，说明理由。”
　　错解：设L的方程为y-1=k（x-1），代入双曲线方程，得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0，设Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则x1+x2=2，∴■=2，解得k=2。故所求直线方程L存在，直线方程为y=2x-1。
　　反思：此题解题过程中犯了两个错误：其一，题设而不求，应注意到直线L应与双曲线有两个交点这一蕴含条件，易被忽视。其二，题中直接设直线L斜率为k也显不妥，应事先说明直线L斜率一定存在。因此一定要考虑Δ>0的条件。