《二元一次不等式（组）与平面区域》的教学设计

一、教材分析

不等关系与相等关系都是客观事物的基本关系，不等式则是刻画现实世界中这些不等关系的数学模型，是进行数学研究、解决许多实际问题的数学工具，因而关于不等式的知识是高中数学学习的重要内容。

本节课是不等式第三章3.3.1的第一课时，通过探究二元一次不等式的解集的几何意义，了解不等式是刻画区域的重要工具，进而介绍二元一次不等式（组）所表示的平面区域。通过本节课的学习为后面寻求“最优解”的线性规划问题奠定基础。

在本节课的学习过程中，使学生体会到数形结合的数学思想，发展学生应用数学的意识；同时让学生进行数学探究，体验知识的形成、应用过程，尝试运用特殊到一般，在由一般在回归到特殊的解决问题的思维方法。

学生在之前的学习中已经学习了不等式的一些知识，并且知道了二元一次方程的解在平面直角坐标系中的图像是一条直线，通过类比的思维方式就可引入本节的教学。

二、教学目标

1、知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；

2、能力目标：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力；

3、情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，提高创新意识。

三、教学重难点

1、教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域；

2、教学难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；

四、教法与学法及教学手段

1、教学方法：引导发现法、探索讨论法、题组教学法等；

2、学法指导： 这是一节抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境，引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习。

3、教学手段：利用多媒体技术辅助课堂教学。

五、教学过程

一、创设情境，导入新课

1、建立二元一次不等式模型

实际问题：一家银行的信贷部计划年初投入2500万元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来3万元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？

把实际问题转化为数学问题：

设用于企业贷款的资金为x万元，用于个人贷款的资金为y万元，由资金总数为25 万元，得到x+y≤25 .①

由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收0.3万元以上，所以(12%)x+(10%)y≥0.3.②

用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负数，于是 x≥0,y≥0.③

【设计意图】创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标，引出概念。

二、引入概念，推进新课

2、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义

（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。

（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

注意：有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标。于是，二元一次不等式（组）的解集就可看成直角坐标系内的点构成的集合。

【设计意图】明确概念,为探究实验做准备。

三、猜想探索，构建新知

3、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形

从特殊到一般：

研究具体的二元一次不等式x＋y<6的解集所表示的图形。

学生思考、讨论、交流，达成共识：

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x＋y<6的解为坐标的点都在直线x＋y=6的左上方；反过来，直线x＋y=6左上方的点的坐标都满足不等式x＋y<6。

因此，在平面直角坐标系中，不等式x＋y<6表示直线x＋y=6的左下方的平面区域，如图（1）

类似的，二元一次不等式x＋y>6表示直线x＋y=6的右上方的平面区域，如图（2）。

直线叫做这两个区域的边界。

 

                         

                       （图1）                           （图2）

4、结论：由特殊例子推广到一般情况：

二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

5、二元一次不等式表示哪个区域的判断方法：

由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

强调：直线同侧点同号。

【设计意图】通过数学实验，为感性认识上升为理性认识打好基础。

四、应用举例，反馈练习

【例1】 画出不等式x+4y＜4表示的平面区域.

解: 先画直线x＋4y＝4(画成虚线)。把原点(0，0)代入x＋4y－4，得0+4×0-4=-4＜0.所以原点在x＋4y<4表示的平面区域内，不等式x＋4y<4表示的平面区域如图：

随堂练习1：

① x+y-1≤0 ② 2x-3y>6 

③ x-2y＜0 ④ x+y-2＞0.

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。

概括：“直线定界，取点定域”，特别地，当C≠0时，常把原点作为特殊点。

【例2】用平面区域表示下列不等式组的解集

 

解：不等式y<-3x+12表示直线y=-3x+12右下方的区域,x<2表示直线x=2y右上方的区域，x>=-3表示直线x=-3右方的区域，取三区域重叠的部分，如图阴影部分就表示原不等式组的解集。

随堂练习2：

【设计意图】通过练习，加强学生的认知结构，得到规律，概括为口诀，便于操作。

6、探索新知

提示：（利用口诀“直线定界，取点定域”）

画出不等式2x+y－6<0表示的平面区域。（强调画图规范和注意点）

变式一：指出不等式-2x+y－6<0表示的平面区域；

变式二：指出不等式2x－y－6≥0表示的平面区域；

变式三：指出不等式-2x－y－6≥0表示的平面区域。

……

规律：一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0(A不等于0）当A >0时，Ax+By+C>0表示平面区域在直线Ax+By+C=0的右方， Ax+By+C<0表示平面在直线Ax+By+C=0的左方。

概括： “系数化正、左小右大”，系数指x前系数A， “左（右）”指平面区域的左（右）方，“小（大）”指不等式的小于（大于）号。

【设计意图】给学生提供思考的想象空间，提高学生的分析归纳能力。

五、课堂小结，升华知识

（1）二元一次不等式表示的平面区域；

（2）数形结合的方法；（3）如何理解口诀“直线定界，取点定域”和“系数化正，左小右大”。

六、布置作业

1、课本P93习题3.3第1,2题

2、预习第二课时

七、教学反思

    二元一次不等式表示的平面区域的教学是线性规划问题的基础，直接影响线性规划问题中可行域的确定。因此本节课起着承前启后的作用。