走进不等式证明的思维途径

不等式的证明是高中数学竞赛以及高考的难点，这类问题综合性强，解法灵活且多种多样，学生在解决这类问题时，许多同学感到不知从何入手。其实解决这类问题的关键是如何对条件、结论及其相互关系进行分析，通过创造性思维实现转译，构造适当的“数学对象或形式”，通过推演实现转化，如何走进不等式证明？其思维途径何在？本文试图通过实例对此问题作一些探求。

一、走构造函数与方程之路

数学对象的内部，或者不同的数学对象之间，往往会以某种形式相互联系，在一定的条件下能够相互转化，我们可以借助运动变化的观点，根据题设条件，分析研究具体问题中的数量关系，正确把握问题中的有关数量关系，构造适合的辅助函数，借助函数图像间的位置关系来确定数量内在的联系，把直接求解较难的问题转化成一个常规函数与方程问题，从而达到解决问题的方法。

例1：已知


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

证明：构造函数

因为二次函数

的图象的对称轴为

，而

，

则

在

上单调递增，又

，

，

即

  而

   点评：通过分析条件

，即为

。

，必须找到a与k的联系

，从而利用数形结合使问题得以解决。

例2：已知函数

，证明：对任意x

，x





，x



x

，有

。

证明：考虑函数

则

由于1<a<5,故

，即g(x)在(0, +∞)单调增加，从而当

时有

，即

，故

，当

时，有

点评：通过对所证的不等式变形得

或

，从而构造辅助函数

，转化为证明函数的单调性。

二、走构造圆锥曲线之路

    根据问题条件中的相互关系，进行细心观察、广泛联想，构造出一种与问题相关的圆锥曲线，将题设中的数形体现在图形中，实现问题的转化，从而获得问题的解答，是一种有效的方法，更是培养学生创新思维的一个有效途径。

例3：已知

，

，求证：

 

 

 
  
  
  
 
 
 
  
  
 

 

 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
 
 
  
 
 
 
 

 
 



 

 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 
证明：由条件可知

     

令

    

则



  （*）

M表示抛物线（*）的弧上的点P（x , y）与点

的连线的斜率，由图1，可知P位于点B时y最小, 即

当点P从点B移动到C时，直线AP的倾斜角从

     故原不等式成立

点评：对

进行变化，目的在于使

表示两点

的斜率，则动点在抛物线

上，利用直线过定点斜率的变化来求最值。

例4： 已知实数a 、b满足

 ，求证：

。

证明：∵

 ，

 

 

 



 
 

 
 

 
 
∴令

  则 

于是问题转化为椭圆

与

椭圆

（t < 0）有公共点，     图2

如图2，故

      即  

   故原不等式成立。

点评：通过对两式

,

进行变化，寻找共性，换元使其表示两椭圆的位置关系。

三、走构造向量之路

构造向量法就是从问题的条件入手，找到与向量知识的相关点，转化为向量背景下的形式，借助向量的运算法则求解，达到解决原问题的目的。构造向量法是解决不等式问题的一种有效的方法，同时也能体现向量工具性的重要和应用的广泛，其解法的简捷、直观体现了方法的优越和潜力的巨大。

例5：已知

，求证：

。

证明：由条件显然有

，

，

，

，构造向量   

  

   

  又 

 ，得

 

   即

 点评：由不等式变形得

，考虑向量知识

，围绕这个知识点，展开构造向量的坐标，从而获解。

四、走构造代数恒等式之路

根据数与量的结构特征，挖掘其中的数量关系，将数式进行拆﹑凑等代数恒等变形，使问题进入常规化。

例6：已知x，y，z为正实数，求证：

。

证明：作代数恒等变形，得

从而，有

     所以

点评：本题通过变形原不等式，利用作差比较法，考虑将数式进行拆﹑凑等恒等变形使不等式得以证明。

五、走构造离散型随机分布列之路

通过问题的条件，寻找与离散型随机变量知识的相关点，转化为离散型随机变量背景下的形式，借助离散型随机变量的相关公式，达到建立不等式解决原问题的目的。其方法多适合分式不等式，其证法构思新奇，思路清晰，富于规律，易于掌握。

例7：设a，b，c,是

的三边，求证：

。

证明：令

，则不等式可化为

构造随机变量

的概率分布列为：

，

，


   

     

故原不等式成立。

点评：利用离散型随机变量的知识

即

（当且仅当

时，不等式中等号成立.），构造随机变量

的概率分布列来求证。

六、走构造数列之路

根据问题中数与量的结构特征，借助数列中的等量关系，寻找转换变量的方法，使问题进入常规化。

例8．已知

都是正实数，且

，求证：

证明：由

知

成等差数列，不妨设公差为

，则

所以

点评：通过对题目已知条件的分析，利用等差数列的性质，将所要证的不等式转化成较为简单的不等式问题，然后利用常规方法加以证明。

七、走构造平面图形之路

数形结合是中学数学中的一种重要数学思想,将“数”和“形”结合，具有直观可洞察数学问题的实质，因此在解题中往往利用数学问题中的条件或结论，构造出“形”的模型，利用“形”的特征优化解题过程。

例9：已知

证明：依题设

，

取BC的中点M，过M作MR

OA，则有

 

 

 

 

 


 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 


 ，

因锐角

所以

。

点评：有些不等式的数量关系可以集中在特定的几何图形上，因此，设法构造出这一特定几何图形并借助图形性质，就可以迅速让问题获解。

八、走构造二项式定理之路

众所周知，数学归纳法在含有自然数的不等式命题方面有着较大的优势，但同时我们也发现，不是所有与自然数有关的幂不等式命题采用数学归纳法来证明会显得较容易。实践证明，二项式定理在实际应用中具有很大的价值，它也是解决与自然数有关的幂不等式的好方法。运用二项式定理进行证明的关键在于创造二项式。在有二项式的幂不等式中，要善于把其中某个数式变形、分解、引进参数等来构造新的二项式，使得不等式两边在二项式展开后有紧密的联系，这样，使解题过程简洁、明了往往能起到事半功倍的作用。

例10：已知a，b为不相等的正数，n是大于1的整数，求证；

。

证明：

               

         

点评；通过分析找到解题的突破口，即将一些数式进行凑﹑拆等创造新的二项式来达到使不等式两边密切联系的目的。

从以上各例可见，不等式在一定条件下具有各个知识点等必备要素，从而为证明方法的选择与深入研究提供了广阔的思维空间，只要在证明不等式时善于细心观察、广泛联想、深入挖掘，能够抓住问题的结构特征，无疑会使不等式的证明方法别开生面。

       2009年9月30日

参考文献：

1   黄加卫．数学构造性方法研究综述．中学数学教学参考．2005.12

2   洪成．构造法解题．中学数学研究．2008.10