幂函数教案

教学目标设计

通过观察、总结幂函数的性质,培养学生概括抽象和识图能力.使学生进一步体会数形结合的思想.情感态度和价值观:通过指数式的变化进行设想,并通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣.
教学重点:
　　掌握常见的幂函数的图象和性质，解决有关问题．
教学难点:
　　幂函数的图象和性质的总结，熟练运用幂函数的性质解决相关问题，特别是含参数讨论的一类问题．

教学内容分析

第一，是幂函数在实际中的应用.

第二，学生在初中已经学习了y=x、y=x²、y=x^-1三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构.

第三，幂函数是基本初等函数（Ⅰ）研究的最后一个函数，在指数函数和对数函数之后，幂函数的学习与探究过程可体现类比的学习方法，渗透分类讨论数形结合的数学思想，培养归纳、概括的能力，并使学生进一步体会并掌握研究基本初等函数的一般思路与方法.

教学过程

一．创设情境，建构概念

1幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念） 结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别： 对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数 对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数

2幂函数具有哪些性质？研究函数应该是哪些方面的内容。前面指数函数、对数函数研究了哪些内容？

（学生讨论，教师引导。学生回答。）

3幂函数的定义域是否与对数函数、指数函数一样，具有相同的定义域？

（学生小组讨论，得到结论。引导学生举例研究。结论：幂指数 不同，定义域并不完全相同，应区别对待。）教师指出：幂函数y=xn中，当n=0时，其表达式y=x0=1;定义域为（-∞，0）U（0，+∞），特别强调，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图象是从点（0,1）出发，平行于x轴的两条射线，但点（0,1）要除外。）二. 联想类比，自主探究

三. 深入探究归纳

1.对图象的进一步探究

在得到了十一种不同形态的图象后，教师指出，幂函数的情况比指数函数和对数函数的情况复杂得多，继而提出问题：我们该如何去把握幂函数的图象呢？

学生提出根据幂指数的不同范围分α>1，0<α<1，-1<α<0，α<-1几类，进行讨论.在这个环节中针对学生出现的几个问题，教师进行了适当引导，并且在这个过程中有效地突破了本节课的教学难点：

（1）学生回答当α>1时，幂函数的图象具有相同的共性.

此时教师引导学生观察图象，说明α>1时的几个幂函数的图象形态并不相同.进一步引导学生发现实际上它们在第一象限图象的形态是一样的.从而提出实际上由于函数的奇偶性，我们只需考虑幂函数在第一象限内的图象规律即可，这样就大大简化了讨论的过程，这也是本节课的教学难点.

（2）在共同讨论-1<α<0和α<-1时幂函数的图象时，发现它们在第一象限图象从形态上来看没有差异，指出对幂函数图象的讨论只需分α>1，0<α<1，α<0，α=1，α=0这几种情况即可.

2.对幂函数在第一象限图象的归纳

在这一环节中教师引导学生将幂函数在第一象限不同形态的图象画出来，并请一名学生将图象画到黑板上，通过对学生所画图象的纠错与分析和学生共同归纳出幂函数在第一象限的图象与性质：

（1）图象必过(1,1)点.

（2）α>1时，过(0,0)点，且y随x的增大，函数图象向y轴方向延伸，图象是下凸的.在第一象限是增函数.

（3）0<α<1时，随x的增大，函数图象向x轴方向延伸，函数图象是上凸的.在第一象限是增函数.

（4）α<0时，随x的增大，函数图象与x轴、y轴无限接近，但永不相交.在第一象限是减函数.

（5）α=1和α=0的情况.（略）

四．练习与巩固

1.画出的草图.

在这一环节中，教师首先选择了学生在课堂初始时举出的一个幂函数：作为例子，引导学生画出函数的图象.

通过此例使学生进一步熟悉一般幂函数的研究方法与过程：先将分数指数幂化为根式，确定函数定义域，再根据解析式确定函数奇偶性，最后根据第一象限函数的图象特征确定函数图象.

2.寻找一个幂函数使其图象类似于y=x²的图象.

学生回答y=x⁴，y=x¹⁰，教师引导学生寻找幂指数为分数的情形，学生给出了这个函数.通过画的图象，进一步巩固了研究幂函数的一般方法，以及幂函数图象的特征.

通过这一环节，进一步明确了研究幂函数的一般方法与过程，同时也是本节课教学效果的一个反馈.

五．课堂小结

今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？

1、  幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 2、  常见幂函数的图象和幂函数的性质。

六．布置作业

作业：