上课教师

王秋枝

班 级

八年级（  2  ）班

课题：

《14．2．1    平方差公式》

三维   目标

知识与技能

会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算

过程与方法

在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力

情感态度与价值观

在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美

教学重点：平方差公式的推导和应用

教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式

教学方法与手段：探究与讲练相结合

教学过程：

一．提出问题，创设情境

    [师]你能用简便方法计算下列各题吗？

    （1）2001×1999     （2）998×1002

    [生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．

    [生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．

    [师]很好，请同学们自己动手运算一下．

    [生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）

= 2000²-1×2000+1×2000+1×（-1）

       = 2000²-1

            =4000000-1

            =3999999．

    （2）998×1002=（1000-2）（1000+2）

= 1000²+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2

 = 1000²-2²

        =1000000-4

        =1999996．

    [师]2001×1999=2000²-1²

        998×1002=1000²-2²  

它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．

二．导入新课

    [师]出示投影片

   计算下列多项式的积．

    （1）（x+1）（x-1）

    （2）（m+2）（m-2）

    （3）（2x+1）（2x-1）

    （4）（x+5y）（x-5y）

    观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．

    （学生讨论，教师引导）

    [生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．

    [生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．

    [师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．

    解：（1）（x+1）（x-1）

              = x²+x-x-1=   x²- 1²

    （2）（m+2）（m-2）

        = m²+2m-2m-2×2= m²-   2²

    （3）（2x+1）（2x-1）

        =（2x）2+2x-2x-1= (2x)²- 1²

    （4）（x+5y）（x-5y）

        = x²+5y·x-x·5y- (5y)²

        = x²-(5y)²

[生]从刚才的运算我发现：

（1）（x+1）（x-1）=x²- 1²

^{（2）（m+2）（m-2）= m2-   22}

（3）（2x+1）（2x-1= (2x)²- 1²

（4）（x+5y）（x-5y） = x²-(5y)²

也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．

    [师]能不能再举例验证你的发现？

    [生]能．例如：

51×49=（50+1）（50-1）=50²+50-50-1=50²-1²．

    即（50+1）（50-1）=50²-1²．

    （-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）

= (-a)²- b²=a²-b²

    这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

    [师]为什么会是这样的呢？

    [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．

    [师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．

    [生]这个规律用符号表示为：

    （a+b）（a-b）=a²-b²．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．

    利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：

    （a+b）（a-b）=a²-ab+ab-b²=a²-b²．

    [师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a²-b²起一个名字呢？

    [生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？

    [师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．

    （出示投影）

    两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

    即：（a+b）（a-b）= a²-b²

    平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．

    在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算

    （出示投影片）

    例1：运用平方差公式计算：

    （1）（3x+2）（3x-2）

    （2）（b+2a）（2a-b）

    （3）（-x+2y）（-x-2y）

    例2：计算：

    （1）102×98

    （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

    [师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．

    在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．

    即：（3x+2）（3x-2）=(3x)²-2²

    （a+b）（a-b）=a²-b²

    同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：

    （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．

      如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．

    （作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）

    [例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）= (3x)²-2²= 9x²-4．

    （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）= (2a)²-b²=   4a²-b²．

    （3）（-x+2y）（-x-2y）=   (-x)²-(2y)²= x²-4y²．

    [例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）

    = 100²-2²=10000-4=9996．

    （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

    = y²-2²-（y²+5y-y-5）

    = y²-4- y²-4y+5

    =-4y+1．

三．随堂练习

        P108练习1,2

教师小结：

 通过本节学习我们掌握了如下知识．

    （1）平方差公式

    两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a²-b²．

    （2）公式的结构特征

    ①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；

    ②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；

    ③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）²-y²．

布置作业：课本P习题14.2第1题

板书设计：

14．2．1        平方差公式

归纳规律──平方差公式；

文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差

符号语言：（a+b）（a-b）=a²-b²

应用、升华：

修订、增减

教学反思：

只有深刻经历过，才能有更深刻的体会！   

 课堂教学一直是我们教师的主阵地，所以近几年来也总是尽心尽力备好课，上好课，在课堂这一主阵地上与学生一块冲锋陷阵，只是求得心安理得！

   今天，与学生一起学习了《平方差公式》，因为知道平方差公式跟完全平方公式是我们的两大难点，所以上课前除了认真研究课本及教参，还搜索了网上的不少资料，以做到广闻博取。

首先，在平方差公式的突破上，试着让学生抓住两项式的特征：即完全相同的项跟只有符号不同的项这一特征，只有符合这一特征我们便可以用简便公式，即平方差公式来计算；

   其次，在公式的变形上，让学生明确平方差公式跟它们所处的位置没有关系，只要符合公式的特征，我们便可以将它们整理成一般形式，从而根据公式学出结果。

  最后，小组学习运用的还不够到位，个别小组有放弃小组成员的想法，在以后的教学过程中，还要注意调动每一个小组成员的积极性，让每一个组员都为自己的小组而骄傲！