聚焦核心素养之数学模型

              ——以《倍的认识》为例

模型思想是《课程标准（2011年版）》新增的核心概念，但对于一线教师来说，它并非崭新而陌生。恰恰相反，长久以来它一直不声不响的在我们的日常教学中发挥着巨大的作用。当下，如果能够更加明确地理解和把握模型思想的含义和要求，将有助于我们进一步理清教学目标的本末，从而调整教学思路，更加有效地促进学生数学核心素养的形成。

数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物地特征，数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念，定理，规律，法则，公式，性质，数量关系式，图表，程序等都是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要模型形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相同之处，同样具有普遍的意义。

数学模型根据不同的标准有很多分法，在小学学段出现的数学模型一般可以分为四类，即概念型、方法型、结构型、程序型。

数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，任何一个数学概念都是对客观现实中一类对象的本质属性抽象概念的结果，因而它具有抽象性，没有实际的物质存在。数学概念是学习其他数学知识的基础，是进行正确计算、判断、推理的依据。概念教学有利于培养学生的逻辑思维能力和发展学生的智力。

以《倍的认识》为例。“倍”是在表内乘除法的基础上学习的，同时也为后面学习分数、百分数、比等知识打下了基础。“倍的认识”是教学中的一个很大的难点，因为“倍”的概念虽然与学生学过的“几个几”相类似，但它涉及到两个量之间的比较，十分抽象、不易理解，所以这部分知识的教学比较有代表性。

学生学习“倍”的困难在于它需要让学生的认知结构发生质的变化。在学习“倍”之前，学生头脑中建构的是加法结构，是数量的合并于多少的比较，未曾学习两个量之间的比率关系。比如当出示胡萝卜与白萝卜的数量之后，如果让学生提出问题，那一定是“两种萝卜一共有多少根？”或“胡萝卜比白萝卜少多少根？”等类似的加减法解决的问题。对两个量或多个量之间的比率关系问题的真正理解需要在学生的头脑中建构起乘法结构，而“倍”的学习正是建构乘法结构的伊始。认知结构的转变是学生学习的最大困难，因此小学生学习“倍”存在困难就很容易理解了。

在这节课中，我主要是结合多个学习活动，让学生获得“倍”概念的直观体验，结合具体情境理解“几倍”与“几个几”的联系，从而建立“倍”的模型，清晰地理解“倍”的内涵。

课前进行了拍手游戏，在动态中激活学生的思维，充分调动学生学习的积极性，激发学生学习兴趣。复习内容与新知“倍”形成了知识的对接，做好表示“几个几”的乘法意义和“倍”概念意义的先前储备，为沟通两者的联系做好铺垫。

在学习新知时，我选择使用书中的主题图，先是红萝卜与胡萝卜的比较，初步建模，引出3倍的概念；接着是白萝卜和胡萝卜的比较，因为有了倍的初步模型，让学生动手圈一圈，有利于学生建立“倍”的表象，得出5倍的结论，训练了学生的思维连贯性。再通过对比，使学生感知，能圈出这样的几份，就是一份数的几倍，理解“倍”的含义。建立表象，建立正取的概念（即数学模型）后，通过不断追问有6个2根，7个2根，8个2根，50个2根，100个2根呢？引导学生发现，两个数量进行比较，标准量即1份数不变，比较量里有几个这样的1份数，就是它的几倍，加深对倍的概念的理解。

创设变式情境，红色小棒的根数是黄色小棒的几倍？让学生在动手摆小棒的过程中，通过知识的迁移，感受黄色小棒在变化，几倍也会跟着变化，学生再次认识8倍、4倍、2倍、1倍。。这一环节放手给孩子操作，不断引起学生认知的冲突，让学生在观察、操作中体验到“1份”的重要性与关键性，“1份”代表的具体量在变化，比较的结果也会跟着发生相应的变化，使学生的认识得到了升华，对“倍”的认识更加深刻。还创设如果没有刚好整数倍的情景，充实学生对“倍”的认识，完善对“倍”的理解。在变中抓不变，更为深入地揭示现象的本质，实现了一次对“倍”认识上的飞跃。

对“倍”概念的理解扎实，更注重学生对“倍”概念的理解和表述，就像专家说的那样，数学思考和数学表达同样重要。这节课知识点不难，难在表达上，于是我从例题开始，给学生建立“把胡萝卜2根看成1份，红萝卜有这样的3份，就是有3个2根，所以红萝卜的根数是胡萝卜的3倍”这样一个清晰的表达方式，让学生在多次复述中理解“倍”的概念，建立“倍”与“几个几”之间的关系，同时会表达“倍数关系”。所以整节课下来，学生的表述非常清晰明了，突破了本课的重点。

总之，在整个教学过程中，对于倍的认识，引导学生关注“是谁和谁比”，始终抓住“把什么当成1份，有几个这样的1份就是这样的几倍”这个数理来帮助学生建立“倍”的概念，并且努力创造机会，让学生多种感官参与学习，让学生获得丰富的感性认识，使抽象知识具体化、形象化。