发布者：毛兰杰 发布时间：2019-01-14 浏览数( -) 【举报】
教案：
1.3.1 单调性与最大（小）值
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值（第1课时）
教学分析
在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.
由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.
三维目标
1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.
3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.
4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.
重点难点
教学重点:函数的单调性和最值.
教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时 函数的单调性
导入新课
思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试，得到了一些数据.
时间间隔t | 0分钟 | 20分钟 | 60分钟 | 8~9小时 | 1天 | 2天 | 6天 | 一个月 |
记忆量y(百分比) | 100% | 58.2% | 44.2% | 35.8% | 33.7% | 27.8% | 25.4% | 21.1% |
观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（可以借助信息技术画图象）
图1-3-1-1
学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.
遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.
思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？
学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?
图1-3-1-2
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？
③如何理解图象是上升的？
④对于二次函数y=x2，列出x,y的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升.
x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||
f(x)=x2 |
表(1)
⑤在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？
⑥增函数的定义中，把“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?
⑦增函数的定义中，“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?
⑧增函数的几何意义是什么？
⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？
⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？
讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.
②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.
④在区间(0,+∞)上，任取x1、x2，且x1<x2,那么就有y1<y2,也就是有f(x1)<f(x2).这样可以体会用数学符号来刻画图象上升.
⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
⑥可以.增函数的定义：由于当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，即都是相同的不等号“<”，也就是说前面是“<”，后面也是“<”,步调一致；“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数.
⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.
⑧从左向右看,图象是上升的.
⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增(或减)区间.
⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.
应用示例
思路1
例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
图1-3-1-3
活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.
解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.
点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.
图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
变式训练
课本P32练习1、3.
例2物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.
活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时，压强p将增大是指函数p=是减函数；刻画体积V减少时，压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.
解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=在区间(0,+∞)上是减函数即可.
点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1<x2；第二步：比较f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再归纳结论.定义法的步骤可以总结为：一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”,因此简称为：“去比赛”.
变式训练
课本P32练习4.
思路2
例1（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；
（2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；
（3）当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.
图1-3-1-4
解：（1）函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.
(2)设x1、x2∈(-∞,1］，且x1<x2，则有
f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1<x2，∴x1-x2<0,x1+x2<2.
∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.
（3）函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(-∞,1］.
点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内.
判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明.
判断函数单调性的三部曲：
第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；
第二步，结合图象来发现函数的单调区间；
第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.
函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.
变式训练
已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).
(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；
(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.
活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；（2）证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点(,0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可.
解：（1）设x1、x2∈R，且x1<x2.则
F(x1)-F(x2)=［f(x1)-f(a-x1)］-［f(x2)-f(a-x2)］
=［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］.
又∵函数f(x)是R上的增函数，x1<x2，∴a-x2<a-x2.
∴f(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1).
∴［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］<0.
∴F(x1)<F(x2).∴F(x)是R上的增函数.
（2）设点M(x0,F(x0))是函数F(x)图象上任意一点，则点M(x0,F(x0))关于点(,0)的对称点M′(a-x0,-F(x0)).
又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0))
＝f(a-x0)-f(x0)
＝-［f(x0)-f(a-x0)］
=-F(x0),
∴点M′(a-x0,-F(x0))也在函数F(x)图象上，
又∵点M(x0,F(x0))是函数F(x)图象上任意一点，
∴函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.
例2(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
图1-3-1-5
(3)定义在［-4,8］上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.
活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示:
（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，借助于图象解决；（2）类似于（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明.
解：(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反.
(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反.
(3)函数y=f(x),x∈［-4,8］的图象如图1-3-1-6.
图1-3-1-6
函数y=f(x)的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,而单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,而单调性相反.
(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:
不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］.
由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).
设2m-b≤x1<x2≤2m-a,则b≥2m-x1>2m-x2≥a,
f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).
又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.
∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).
∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.
∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.
因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.
点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.
变式训练
函数y=f(x)满足以下条件:
①定义域是R;
②图象关于直线x=1对称;
③在区间［2,+∞)上是增函数.
试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).
活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.
解：定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0).
结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：
形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.
知能训练
课本P32练习2.
【补充练习】
1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.
解：①正比例函数：y=kx(k≠0)
当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.
②反比例函数：y=(k≠0)
当k>0时，函数y=的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间.
③一次函数：y=kx+b(k≠0)
当k>0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.
④二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是(-∞,］，单调递增区间是［,+∞)；
当a<0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是［,+∞)，单调递增区间是(-∞,］.
点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.
2.已知函数y=kx+2在R上是增函数，求实数k的取值范围.
答案：k∈(0,+∞).
3.二次函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a的值.
答案：a=2.
4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)<f(3a2-4a+1)成立，则a的取值范围是______.
分析:∵f(x)的定义域是(0,+∞)，
∴解得a<或a>1.
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，
∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0.
∴0<a<5.∴0<a<或1<a<5,即a的取值范围是(0,)∪(1,5).
答案：(0,)∪(1,5)
点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式.
拓展提升
问题：1.画出函数y=的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？
（1）函数y=是减函数；（2）函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
2.对函数y=,取x1=-1<x2=2，则f(x1)=-1<f(x2)=，满足当x1＜x2时f(x1)<f(x2)，说函数y=在定义域上是增函数对吗？为什么？
3.通过上面两道题,你对函数的单调性定义有什么新的理解？
解答：1.（1）是错误的，从左向右看,函数y=的图象不是下降的.
（2）是错误的，函数y=的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).这表示在区间(-∞,0)∪(0,+∞)即定义域上是减函数，在定义域上函数y=的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的.
2.不对.这个过程看似是定义法，实质上不是.定义中x1、x2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替.
3.函数单调性定义中的x1、x2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性.
点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y=f(x)在区间(a,b)和(b,c)上均是增（减）函数，那么在区间(a,b)∪(b,c)上的单调性不能确定.
课堂小结
本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.
作业
课本P39习题1.3A组2、3、4.
设计感想
“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”.本设计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材.
本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.