发布者:王忱惠 所属单位:昌吉回族自治州第一中学 发布时间:2019-04-22 浏览数( -) 【举报】
函数的零点是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介,渗透着等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,是一个考察学生综合素质的很好知识点.近几年的数学高考中频频出现零点问题,其形式逐渐多样化,但都离不开这几种常用的等价关系:函数y=f(x)有零点,即方程f(x)=0有实数根,即函数y=f(x)的图像与x轴有交点.也可拓展为:函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点,方程组y■=f(x)y■=g(x)有实数根函数y1=f(x)与函数y2=g(x)的图像有交点.
类型一:函数零点的分布
解决零点的分布问题,主要依据零点的存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)・f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.而零点的个数还需结合函数的图像和性质,尤其是函数的单调性才能确定.
例1。若函数为f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=-lg(-x)+x+3,已知f(x)=0有一个根为x0,且x0∈(n,n+1),n∈N*,则n的值为________.
解析:由题意,设x>0,则-x<0,f(-x)=-lgx-x+3=-f(x),所以当x>0时,f(x)=lgx+x-3在(0,+∞)上是增函数,f(2)<0,f(3)>0,所以x0∈(2,3),则n=2.
类型二:函数零点的个数
判断函数零点个数可利用定义法,即令f(x)=0,则该方程的解即为函数的零点,方程解的个数就是函数零点的个数;也可根据几何法,将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.
例2:函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析:定义法,令f(x)=0,可得x=0或cosx2=0,所以得x=0或x2=kπ+■,k∈Z,又注意到x∈[0,4]可得k=0,1,2,3,4,所以方程共有6个解,因此函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上有6个零点,故选C.