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等差数列(第一课时)   教学设计
一、教学目标
　　1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；
　　2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；
　　3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.
二、教学重点，难点
　　教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用．
三、教学过程
（一）课题引入
请同学们观察课本36-37的四个实例引出的四个特殊数列，引导同学们发现其中的共同规律。
① 从0开始数数，每隔5数一次，数到的数组成的数列为：
 , , , , …
   特点：无穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于 。
② 较轻的4个举重级别：（我们可以发现举重级别级差是5）
 , , , .
   特点：有穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于 。
③ 定期放水清理水库，自然放水每天水位降低2.5
 , , , , , .
   特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于 。
④ 银行单利问题，单利及不把利息加入本金计算下一期的利息，也就是说每一年的算利息时本金都是1000，知识利息逐年累加而已.
 , , , , .
   特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于 。
它们共同的特点是？
从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数。
我们把有这一特点的数列叫做等差数列。
（二）新课探究
1、数列的定义
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 来表示。
①强调定义中的关健词有哪些.
（2）等差数列定义的数学表达式：
 或者
 试一试：它们是等差数列吗？  
①  , , , , , …
②  , , , , …
③ 每一项都是5的常数列
④每一项都是 的常数列（其中 是常数）
（3）等差中顶定义
过渡：提问2，4，5是不是等差数列，如果不是，怎么样改才是等差数列？
定义：由三个数 ， ， 组成的成等差数列可以看成是最简单的等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。且有：
注：如果取等差数列 中任意相邻的三项 ， ， 那么： ，
    2、等差数列的通项公式
（1）等差数列的通项公式(求法一——迭代法)
如果等差数列 首项是 ，公差是 ，那么这个等差数列 如何表示？ 呢？
根据等差数列的定义可得：    ， ， ，…
     所以：  ，
            ，
            ，
    猜想：  ，
            ……
由此猜想: ，
因此等差数列的通项公式就是:  ，
注：需要特别强调的是在求 的过程中采用了迭代法，由猜想归纳出 的通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，完整的方法——数学归纳法将在以后学习.所以下面我们引入第二种方法（累加法）来证明等差数列的通项公式是 ，
   （2）等差数列的通项公式(求法二——迭加法)
根据等差数列的定义可得：
 
 
 
……            个式子相加
 
 
将以上 个式子累加得等差数列的通项公式就是:  ，
当 时也满足上述式子，所以：
等差数列的通项公式就是:  ，
3、等差数列的判定
（1）引入
由课本38页的例3，得出一种等差数列的判定方法，再强调定义和等差中项都可以用来判定等差数列，其中定义和例3的方法最常用.
例3：已知数列 的通项公式为 ，其中 ， 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗?
分析：可以利用等差数列的定义判定数列是否是等差数列，也就是计算 是不是一个与 无关的常数.
（2）归纳
     等差数列的三种判定方法
方法 符号语言 结论

定义法 
 

 是等差数列

等差中项法  ，
 

通项公式法 
 

（三）应用
1、等差数列的通项公式的应用
例1：(1)  求等差数列 , , …的第 项
分析：由已知条件可知首项 和公差 以及项数 ，直接代入等差数列通项公式即可求的 .
(2)  等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是–401？
分析：要判断 是不是数列的项，首先假设 是等差数列的项，那么就相当于已知首项 和公差 以及 ，直接代入等差数列通项公式即可求的 .
   注：在应用等差数列的通项公式 过程中,对 , , , 这四个基本量,知道其中三个量就可以通过列方程求余下的一个量,这是一种方程的思想，我们称作“知三求一”。

例2：某市出租车的计价标准为 元/ ，起步价为 元，即最初的 （不含  ）计费 元.如果某人乘坐该市的出租出去往 处的目的地且一路畅通，等候时间为 ，需要支付多少车费?
分析：这道题需要个别注意的是“最初的 （不含  ）” ，也就是说在3.9 处的计费为10元，在4.1 处的计费为11.2元，在4.0 处的计费也为11.2元。
法一、那么在13.5 处的计费应和13.5 处的计费一样，为10+1.2+（13-4）*1.2=22元.在第14 处的计费为10+1.2+（14-4）*1.2=23.2元.
法二、如果我们从第 处开始，每隔 记一次费，那么所记的数组成的数列是一个首项 ，公差 的一个等差数列，那么，当出租出行至 处时， ，此时所要支付的车费为 元.
注：在利用等差数列方法解决实际问题时，一定要分清楚首项、项数、公差、末项等关键问题.
  
例3：三维设计第20页考点一的例一（作为练习抄在黑板上让学生做）
已知数列 为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式.
（1）
分析：由 ，根据通项公式可以列出两个有关首项 和公差 的二元一次方程组，最后带入通项公式 即可.
（2）前三项为
分析：法一，根据等差数列的定义有 和 ，即 列出关于 的一元一次方程，解出 就可知道首项 和公差 .
法二，由等差中项同样可以列出关于 的一元一次方程.
2、课堂练习
（1）等差数列的判定及通项的应用（课本39页的练习1、2、3)
 练习1 有时间的话讲解一小题。
 练习2 分析:由已知，如果每一排的座位数排成一个数列，那么所记的数组成的数列是一个首项 ，公差 的一个等差数列，接下来代入通项公式就可求出 和 .
练习3 等差数列 的首项为 公差为 ，等差数列 的首项为 公差为 ，如果 ，且 ，求数列 的通项公式.
分析：题目已知数列 的首项和第二项，同学们很容易想当然的认为 ，在这边，需要强调求等差数列的通项公式时的前提是数列必须是等差数列.所以，需要从已知的第一个条件判断 是否是等差数列，这边我们需要用到定义法来判定.

     练习4 优化设计21页右下方的习题7
     分析：（1）直接用通项公式法判定 是等差数列.
           （2）举反例

（四）小结
1、等差数列的定义，定义的符号形式，等差数列的定义
2、等差数列的通项公式: 
公差 ；
3、知三求一：等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公式 求余下的一个量；
4、等差数列的判定
（五）作业