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初中数学运用反例教学的案例分析 一、数学反例的功能 数学反例贯穿于整个数学学习阶段，通过学习数学反例可加深学生对数学概念的理解：培养学生对数学知识归纳、提炼;还养成严密的逻辑思维能力和正确运用数学语言，通过学习数学反例可以提高学生作图技能.教学中恰当地利用反例，可以促进学生数学概念的形成、数学内涵的理解，使学生全面掌握数学知识，解决数学问题.除此之外，学会举反例，有助于学生形成批判意识，数学反例具有独特的教学功能。所以，在教学中既要重视解答数学命题的能力，又要加强数学反例的教学。 二、教学反例与课堂教学 1、几个相关定理 定理1：有两边及其中一边的对角对应相等的两直角三角形全等。 分析：在两直角三角形中，若已知两边对应相等.则这两边必是两直角边或斜边和一直角边，因此可由边角边公理或斜边直角边公理判定这两个三角形全等。 证明：略。 定理2：有两边及其中一边的对角对应相等的等腰三角形全等。 分析：在两个等腰三角形中，若有一角对应相等.易证另两角也分别对应相等。再由边角边公理可两三角形全等。 证明：略。 由定理1、2知，反例中的三角形一定不是直角三角形或等腰三角形。 定理3：在两三角形中，如果已知两边及其中一边的对角对应相等，则第三边上的高对应相等。 2、举反例有利于数学概念的形成和理解 概念的反例提供了最有利于辨别数学概念的信息，使人产生深刻印象，对概念认识的深化具有非常重要的作用.反例的适当使用不但可以使学生概念的理解更加精确，而且还可以排除无关属性的干扰.教师可以通过创设反例加深学生对概念实质的理解.比如在初二学习函数定义时，“在某一变化过程中，存在两个变量x、y，当变量x在某一允许变化范围内任取一个值，通过某种对应法则，都有唯一的值y与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，其中X叫做自变量，Y叫因变量”.表面上，同学们都认为这个定义不需要解释也能明白、理解，但我出了四个例子(其中二个是反例)让学生来比较判断，结果约有60%多的学生出现错误，是什么原因造成的呢?仔细分析下来，学生对上述定义中两处划线词语的理解不透，我们来简要分析这几个反例.答案(1)中，因为集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合定义中的“唯一”，而答案(3)中的A集合中的元素3没有规定像，也不符合定义中的“任取”之要求，所以正确答案是(2)和(4)。 初中数学运用反例教学的案例分析----《初中数学解题能力与解题策略的研究》课题研究材料 再比如判断命题“两条直线都平行于同一条直线，那么这两直线也相互平行”“两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线相平行”对于这两个命题，要求学生从命题的条件和结论考虑，许多学生认为这两个命题都是正确的，事实上，第一个命题是正确的，但是第二个命题中还缺少一个大前提“在平面上”，否则结论显然是错误的，反例如图(2)直线a与直线b都垂直于直线c，但直线a与直线b不平行，这样同学们自然而然会对这条性质有了更深的认识。 初中数学运用反例教学的案例分析----《初中数学解题能力与解题策略的研究》课题研究材料 学习一个新概念对学生来说需要一个过程，有些数学概念比较轴象，学生不容易接受，教师千万不可急于求成，而要努力去寻找突破问题的切入点，如果从正面描述学生还不能理解的话，不妨从反面来解释说明，此时若能举一、两个反例，对照概念的内涵、概念的属性作解释、作比较，再去判断就会起到意想不到的效果.有利于数学知识归纳，学习一节数学知识后，我们经常要对知识进行总结归纳，通常应用比较法、列表法，其中通过举反例来加深学生对知识的理解也是十分有效的手段，例如现行上海市九年级教材第二十八章28.2平行线段成比例定理，学生以为这个定理有逆定理，其实只要举一个反例就能就明问题.再比如，判断一个四边形是平行四边形，除了教材中给出的判定定理之外，还有其它判定方法，如“两组对角分别相等的平面四边形是平行四边形”，为了加深理解，我们可以举相关的例子让学生判断，比如像“一组对角相等，一组对边相等”的四边形是平行四边形吗?这命题是假的，给出一个反例即可，当然这个反例学生是不容易想到的，老师要作分析讲评，请看：反例：一组对角相等，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。 三、数学反例有助于教师专业成长 对于同类的数学知识，我们经常要进行概括，教师要帮助学生找出命题的共同点和不同点，要培养学生学会应用“三段论”还要注意概念的内涵和外延.在总结圆内接四边形时，我曾问学生：什么样的四边形一定有外接圆?有人说“平行四边形”有人说等腰梯形”还有人说“任意四边形也可以”等等，对于这样的问题，只要举反例告诉学生就可以了，但我又提出问题：“能不能用一名话来概括这些共同的圆内接四边形?”经过引导，学生探究得到“对角互补的四边形一定有外接圆”，这类问题在数学中随处可见，只要教师及时把握，就能起到事半功倍的作用。通过循环来消化吸收，加深了对由特殊到一般的辩证关系的理解。体现了波利亚所说：“数学有两个侧面在创造过程中的数学看起来是一门实验性的归纳科学”。 数学反例不但对学生掌握数学知识，理解数学概念，把握数学本质，加强数学应用方面有积极的作用，而且对教师传授数学知识，讲清数学概念，分析数学问题，业务成长方面也有推动作用.数学反例的教学，从某种角度上也可反映教师的基本素质和业务能力，课堂上恰如其分地给出数学反例，提高学生兴趣，加深学生印象，通过比较、举例让学生达到举一反三、融会贯通的目的，这是一名教师驾驭课堂氛围的能力体现.上面已经提到，数学反例并不是随手可得，随意编造的，有的数学反例是不容易想到的，这需要教师在平时注重各个教学细节，各个数学知识点，不断学习积累，养好良好的数学素养，有助于教师专业成长.另外，值得一提的是，举数学反例推翻原命题的结论不同于数学反证法，它们都属于判断一个命题的方法，但有着本质上的区别，在此不再赘述。