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必须是正方形吗？ ——由一道数学复习题教学引发的思考 一、案例背景 新课程背景下有效课堂教学的核心内涵就是学生主动参与与合作研究。学生是否主动、全面、全程、深度参与，外在活动状态与内在思维状态是否活跃，学习活动是否扎实有效，不同水平的学生在各个维度的目标上是否有不同程度的收获，这是评价一堂课是否有效的根本出发点。就数学教学中的主动参与与合作研究而言，其实质就是思维的积极展开，思维品质在数学活动中的深度优化。有效的课堂教学应当是富于思考的，学生要有更多思考的余地，教师的责任是为学生提供思考的机会，为学生留有思考的空间。 二、案例描述 在一堂《数形结合》的专题复习课中，老师为了讲解一道更综合的例题，给出了三道小题做铺垫，其中一题如下： 例3、为了求 的结果？设计如图所示的几何图形，请你利用这个几何图形求 的值为 （结果用n表示） 学生一看题目开始议论：这个图形是正方形还是长方形？ 教师回答：老师的图画不准，是正方形，长方形是无法解决问题的！ 于是学生就顺着正方形的思路也很快得出结果：1－ 但是我想：这个图形必须是正方形吗？我越想越不对劲！长方形的道理完全一样，等腰Rt△呢？一般的三角形，四边形……？ 哦，原来老师太小看这个题目了，没认真思考过这个问题，过了两天，我利用他的课件，只是把本题不再以例题呈现，而是作为思考题给学生，并且不给出图形，看看学生会怎样解决？ 思考题：求值 学生们的回答让我大吃一惊……. 生1：利用拆分 原式＝ ＝1－ 生2：找规律： ∵ ∴推测结果为 生3：方程思想，整体设元 设 　　　① 则 　　② ②－①得 师补充：这是高中数学的错项相消法！！ 生4：结合图形思考 构造面积为1的等腰Rt△ABC， 其中AD=1，则△ABD的面积为 △ADE的面积为 △DEF的面积为 …… 易得结果为整个面积1减去最后一个三角形面积 即为1－ . 生5：也可构造面积为1的正方形！ 生6：其实构造面积为1的圆也可，不要严格的为等腰Rt△，正方形，其实任意面积为1的三角形、四边形、多边形均可，只要你有逐个等分面积的方法，即可。 …… 真是后生可畏！当时的我真是又激动又兴奋，课后的我思绪万千。 三、案例反思 1、关于问题的呈现方式 例3问题的本身应该是寓意深刻，令人深思的！但在本节课中的处理令人感觉不爽！究其原因，问题出在呈现方式上，因为老师的初衷是把例3做为辅垫，把思考的焦点与精力都放在后面的题目上，此题很可能是辅导书上的成题，因为它在本节课的地位，老师对此题缺乏深入分析与研究。如果此题不给出图形，反而会给学生留出一片广阔的思考空间！还有为什么一定要有3个辅垫，两个可否？待综合题完成时，当学生情绪高涨时，给出此题，学生会给我们意外的惊喜！学生的回答就不局限于数形结合，更多的数学思想与方法扑面而来，那才是我们梦寐以求的课堂！ 2、关于延时评价 老师在例3教学中另一失误是：“老师的图画不准，是正方形！长方形就无法解决了！”数学教师若在课前缺乏认真思考，在课堂上切忌信口开河，这样会束缚学生的思维，不能真正做到举一翻三，触类旁通，如果当时的老师，不是那样“斩钉截铁”，而是说：“你认为应该是长方形还是正方形？”那结果肯定是另一番天地，倘能再问“一般四边形呢？”“不是四边形行吗？”…… 由此可见，当教师对问题没有绝对把握或者未曾深思熟虑时，不能妄加评价、乱下结论，有时为什么不可以稚气一点： “我还没思考过，你们认为呢？”这种延时判断与评价反而会让学生的思维活跃起来，使问题进入仔细全面的讨论、分析之中，有利于真正挖掘问题的深层含义，充分体现问题的潜在功能。 许多专家指出，数学课堂教学中存在的主要问题是：重视完成认知目标，忽视情感意志、态度、观念以及良好个性品质的培养，学生缺乏自主活动的时间和空间，不能深层次的参与教学过程。我想这是我们现行课堂教学的通病，这主要是传统教育模式的影响和我们教师的素质、观念不改变造成的。对此，我认为我们的教师在课堂教学中应学会适当的“放弃”。 1、把“讲”的机会还给学生 其实有些问题学生能够回答，而且可以回答得很好，却被老师剥夺了权利。实践告诉我，教师在课堂教学中只要把握得好，少讲比多讲收到的效果确实要强。为了不削弱少讲所发挥的功能，教学中配以无声的体态语也显得十分重要，如文中当学生问及“这个图形是正方形还是长方形？”教师此时不妨摇摇头：“我也不知道，你们说呢？”使学生从教师的眼神、肢体语言中有所反应，产生一种心领神会、心灵相通的感觉，利于形成一种和谐的教学氛围，促使更多的学生的思维真正活跃起来。 2、把“问与答”的机会还给学生 “问题”是促进创新的原动力，课堂提问在教学中具有不可忽视的作用。 教师“问”得过多，还经常自问自答，注重的是形式上的完美，突出的是对知识的灌输，不敢放手让学生自主探究，担心影响课堂教学的实际效果，制约学生的全面发展。应该说，教师在课堂上不能不发问，但并不是问得越多越好，更不该经常自问自答。我们需要减少的是“徒劳的问答”，直至没有。要把更多的时空留给学生，激发学生们“自问自答”。 3、把“写”的机会还给学生 在课堂教学中应该经常这样去做，让学生自己发现规律，让学生自己概括结论，并提供黑板有他们去展示，那才是他们自己的东西、感兴趣的东西。对于学生解答的正误，由其他学生去判断，这与教师自己操办所产生的效果也会天差地别。 4、把“操作”的机会还给学生 《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的主体和富有个性的过程。”教师的演示在数学课堂教学中固然重要，但教师在教学中更应该考虑学生的情感体验，多给学生动手实践的机会。 不难看出，教师在课堂教学中的适当“放弃”，是为了把更多的时间和空间留给学生，“向学生提供充分从事数学活动的机会”，“关注他们在数学活动中所表现的情感和态度”，“帮助他们获得广泛的数学活动经验”，更好地体现“学生是数学学习的主人”。 给学生一些权利，让他自己去选择；给学生一些机会，让他自己去把握；给学生一些困难，让他自己去面对；给学生一些问题，让他自己去解决；给学生一些条件，让他自己去创造。也只有这样，我们的数学课堂才更加有效！