角平分线的性质

1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)

2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点)

一、情境导入

在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．

问题1：怎样修建道路最短？

问题2：往哪条路走更近呢？

二、合作探究

探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等

【类型一】 利用角平分线的性质求线段长

 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是____________．

解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长为DE＋BD＋BE＝CD＋BD＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB.故答案为7cm.

方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

【类型二】 利用角平分线的性质求面积

 如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC且交BC的延长线于点F.若AB＝18cm，BC＝12cm，DE＝2.4cm，求△ABC的面积．

解析：根据角平分线的性质得到DE＝DF，再将△ABC分成△BCD和△ADB两个三角形，分别求出它们的面积再求和．

解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BF，∴DE＝DF.∵S_△ABC＝S_△BCD＋S_△ABD＝2(1)BC·DF＋2(1)AB·DE＝2(1)(BC＋AB)·DE＝2(1)×30×2.4＝36(cm²)．

方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和．

【类型三】 利用角平分线的性质进行证明

 如图，已知∠1＝∠2，P为BN上一点且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD，求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.

解析：过点P作PE⊥BA，根据已知条件得Rt△BPE≌RtBPD，再根据AB＋BC＝2BD得AE＝CD，可证Rt△APE和RtPDC，可得∠PCD＝∠PAE，根据邻补角互补可得∠BAP＋∠BCP＝180°.

证明：过P作PE⊥AB，交BA的延长线于E.∵PD⊥BC，∠1＝∠2，∴PE＝PD，在Rt△BPE和Rt△BPD中，BP＝BP，(PE＝PD，)∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL)，∴BE＝BD.∵AB＋BC＝2BD，BC＝CD＋BD，AB＝BE－AE，∴AE＝CD.∵PE⊥BE，PD⊥BC，∴∠PEA＝∠PDC＝90°.在△PEA和△PDC中，AE＝CD，(∠PEB＝∠PDC，)

∴△PEA≌△PDC(SAS)，∴∠PCD＝∠PAE.∵∠BAP＋∠EAP＝180°，∴∠BAP＋∠BCP＝180°.

方法总结：题目中有角平分线可过角平分线上的点作角两边的垂线，这是角平分线题目中常见的辅助线．

探究点二：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

 如图所示，在△ABC中，PD垂直平分BC，PM⊥AB于点M，PN⊥AC交AC的延长线于点N，且BM＝CN.求证：∠1＝∠2.

解析：先根据中垂线性质得出PB＝PC，再根据HL证Rt△PBM≌Rt△PCN，再根据角平分线性质的逆定理得出结论．

证明：连接PB、PC.∵PD垂直平分BC，∴PB＝PC.∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴∠PMB＝∠PNC＝90°.在Rt△PBM与Rt△PCN中，∵PB＝PC，BM＝CN，∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)．∴PM＝PN.∴点P在∠BAC的平分线上，即∠1＝∠2.

方法总结：证明一条射线是角的平分线有两种方法：一是利用三角形全等证明；二是利用角平分线性质定理的逆定理证明．显然，方法二比方法一更简捷，在用方法二判定一条射线是一个角的平分线时一般分两步：一是找出或作出射线上的一点到角两边的垂线段；二是证明这两条线段相等．

探究点三：角平分线的性质和判定的综合应用

 如图所示，在△ABC外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且使它们的顶角∠DAB＝∠EAC，连接BE、CD相交于P点，AP的延长线交BC于F点，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以说明．

解析：首先猜想∠BPF＝∠CPF，即∠DPA＝∠EPA，显然这两个角所在的三角形不一定全等，可考虑用角平分线的判定来求解．

解：∠BPF＝∠CPF，理由如下：过A点作AM⊥DC于M，作AN⊥BE于N.∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△BAE和△DAC中，AE＝AC，(∠BAE＝∠DAC，)

∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC，S_△BAE＝S_△DAC.∵AM⊥DC，AN⊥BE，∴2(1)BE·AN＝2(1)DC·AM，∴AN＝AM，∴PA平分∠DPE，∴∠DPA＝∠APE.又∵∠DPA＝∠CPF，∠EPA＝∠BPF，∴∠BPF＝∠CPF.

方法总结：证明两个角相等：①如果在一个三角形里，通常利用等边对等角；②如果在两个三角形里，通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的判定．

探究点四：利用角平分线的性质作图

 如图所示，一条南北走向的铁路与一条东西走向的公路交叉通过，一工厂在铁路的东面，公路的南面，距交叉路口300m，并且工厂到铁路与公路的距离相等．请在图上标出工厂的位置，并说明理由(比例尺为1∶20000)．

解：画出∠AOB的平分线OC，在射线OC上量出表示实际距离300m长度的图上距离线段OP，OP＝300×20000(1)＝0.015(m)＝1.5(cm)．

因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点P即是工厂在图中的位置．

方法总结：解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型，进一步运用数学知识来解决．

三、板书设计

角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．

角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等，从而可以简化解题过程.