作业标题:有效学习活动的设计 作业周期 : 2019-04-14 — 2019-07-25
所属计划:通识
作业要求: 请大家及时完成学习。
发布者:李帅
提交者:学员胡良 所属单位:息县一高 提交时间: 2019-04-28 16:30:29 浏览数( 0 ) 【举报】
课题名称:《方程的根与函数的零点》教学设计 |
一、教学内容分析 |
在本节课之前,已经学习了函数概念与性质,研究并掌握了部分基本初等函数,接下来就要研究函数的应用、函数的应用,教材分三步来展开,第一步,建立一般方程与相应的函数的本质联系、第二步,在用二分法求方程近似解的过程中,通过函数图象和性质研究方程的解,进一步体现函数与方程的关系、第三步,在函数模型的应用过程中,通过建立函数模型以及模型的求解,更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系、 |
二、教学目标 |
(1)经历函数零点概念生成过程,理解函数的零点与方程的根之间的本质联系; (2)经历零点存在性定理的发现过程,理解零点存在定理,会判断函数在某区间内是否有零点; (3)积极培养学生良好的学习习惯,提升数学核心素养、 教学重点、难点 教学重点:零点的概念及零点存在性的判定、 教学难点:探究判断函数的零点个数和所在区间的方法、 |
三、学习者特征分析 |
学生之前已经学习了函数的图象和性质,现在基本会画简单函数的图象,也会通过图象去研究理解函数的性质,这就为学生理解函数的零点提供了帮助,初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性,因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点,从认知规律上讲,应该是容易理解的、再者一元二次方程是初中的重要内容,学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉,学生理解起来没有多大问题、这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础、但是学生对其他函数的图象与性质认识不深(比如三次函数),对于高次方程还不熟悉,我们缺乏更多类型的例子,让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系,因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点、加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂、因此在教学中应加强师生互动,尽多的给学生动手的机会,让学生在实践中体验二者的联系,并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨,从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系、 |
四、教学过程 |
1、指导学生进行课前学习 预习教材,完成以下习题: 1、零点:使 的实数、 2、方程有实数根函数的图像与 有交点函数有 、 3、函数零点存在结论: 如果函数的图象在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数在区间内有零点,即存在 ,使得 ,这个也就是方程的根、 4、已知某函数的图象如图所示,则函数有零点的区间大致是( ) A、(0,0.5) B、(0.5,1) C、(1,1.5) D、(1.5,2) 5、已知有一个零点为2,则的值是___ _______、 2、指导学生进行课堂学习 (1)方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索 问题1:解方程(比赛):①6x-1=0 ;②3x2+6x-1=0 、 再比赛解3x3+6x-1=0 第三题学生无法解答,产生疑惑引入课题:教师介绍说一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算,乘方与开方等运算来表示,但高于四次的方程一般不能用公式求解,如3x5+6x-1=0 紧接着介绍阿贝尔(挪威)定理(五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法),伽罗瓦(法国)的近世代数理论,提出早在十三世纪的中国,秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法,振奋学生的民族自豪感,最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二分法引入课题、 问题2:先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:如图1 ①方程与函数 ②方程与函数 ③方程与函数
图1 [师生互动] 师:教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系,推广到一般的方程和函数引出零点概念、 零点概念:对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点、 师:填表格 函数函数的零点 方程的根生:经过独立思考,填完表格 师提示:根据零点概念,提出问题,零点是点吗?零点与函数方程的根有何关系? 生:经过观察表格,得出第一个结论 师再问:根据概念,函数y=f(x)的零点与函数y=f(x)的图象与x轴交点有什么关系 生:经过观察图像与x轴交点完成解答,得出第二个结论 师:概括总结前两个结论(请学生总结)、 1)概念:函数的零点并不是“点”,它不是以坐标的形式出现,而是实数、例如函数的零点为x =-1,3 2)函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标、 3)方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点、 师:引导学生仔细体会上述结论、 再提出问题:如何并根据函数零点的意义求零点? 生:可以解方程而得到(代数法); 可以利用函数的图象找出零点、(几何法) 问题3:是不是所有的二次函数都有零点? 师:仅提出问题,不须做任何提示、 生:根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结概括形成结论、 二次函数的零点:看△ 1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点、 2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点、 3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点、 第一阶段设计意图 本节的前半节一直以二次函数作为模本研究,此题是从特殊到一般的升华,也全面总结了二次函数零点情况,给学生一个清晰的解题思路,进而培养学生归纳总结能力、 (2)零点存在性的探索 [师生互动] 师:要求生用连续不断的几条曲线连接如图2中A、B两点,观察所画曲线与直线l的相交情况,由两个学生上台板书:
、A
a b l 、B 图2 生:两个学生画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交、 师:再用连续不断的几条函数曲线连接如图A、B两点,引导学生观察所画曲线与直线l的相交情况,说明连接A、B两点的函数曲线交点必在区间 (a,b) 内、 生:观察下面函数f(x)=0的图象(如图5)并回答: 图5 ①区间[a,b]上______(有/无)零点;f(a)·f(b)_____0(<或>)、 ②区间[b,c]上______(有/无)零点;f(b)·f(c)_____0(<或>)、 ③区间[c,d]上______(有/无)零点;f(c)·f(d)_____0(<或>)、 师:教师引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否存在之间的关系、 生:根据函数零点的意义结合函数图象,归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析总结概括形成结论、 一般地,我们有:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根、 第二阶段设计意图: 教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理,培养归纳总结能力和逻辑思维、 (3)例范研究 例1.已知函数f(x)=-3x5-6x+1有如下对应值表: x-2-1.5012f(x)10944、171-8-107 函数y=f(x)在哪几个区间内必有零点?为什么? 探究1:如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)>0时,函数在区间(a,b)内没有零点吗? 探究2:如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0时,函数在区间(a,b)内有零点,但是否只一个零点? 探究3:如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且函数在区间(a,b)内有零点时一定有f(a)·f(b)<0 ? 探究4:如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象不是一条连续不断的曲线,函数在区间(a,b)内有零点时一定有f(a)·f(b)<0 ? 图3(反例)
师:总结两个条件: 1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线; 2)在区间[a,b]上有f(a)·f(b)<0、 一个结论:函数y=f(x)在区间[a,b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点、 补充:什么时候只有一个零点? (观察得出)函数y=f(x)在区间[a,b]内单调时只有一个零点、 例2、求函数的零点个数、问题: 1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数? 2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性? 第三阶段设计意图: 教师引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用,应用例1,例2加深对定理的理解 (4)练习尝试(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整) 1、求函数,并画出它的大致图象、 2、利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: (1);(2); 3、利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间: (1);(2); [师生互动] 师:多媒体演示;结合图象考察零点所在的大致区间与个数,结合函数的单调性说明零点的个数;让学生认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用、 生:建议学生使用计算器求出函数的大致区间,培养学生的估算能力,也为下一节的用二分法求方程的近似解做准备、 第四阶段设计意图:利用练习巩固新知识,加深理解,为用二分法求方程的近似解做准备、 (5)探索研究(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整) 讨论:请大家给方程的一个解的大约范围,看谁找得范围更小? [师生互动] 师:把学生分成小组共同探究,给学生足够的自主学习时间,让学生充分研究,发挥其主观能动性、也可以让各组把这几个题做为小课题来研究,激发学生学习潜能和热情、老师用多媒体演示,直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况、 生:分组讨论,各抒己见,在探究学习中得到数学能力的提高、 第五阶段设计意图: 一是为用二分法求方程的近似解做准备、 二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识,本组探究题目就是为了培养学生的探究能力,此组题目具有较强的开放性,探究性,基本上可以达到上述目的、 (6)课堂小结: ①零点概念; ②零点存在性的判断; ③零点存在性定理的应用注意点:零点个数判断以及方程根所在区间、 (7)作业回馈 教材P108习题3、1(A组)第1、2题; 思考:总结函数零点求法要注意的问题;思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗? 3、指导学生进行课后学习 通过学生的作业反馈,重点辅导没有落实的课标要求、 |
六、教学评价设计 |
让学生先解方程产生疑问引入课题;引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系,推广到一般的方程和函数引出零点概念;如何并根据函数零点的意义求零点;然后探索零点的存在性,最后范例研究进行教学、设计中体现了师生主动参与体验的有机结合,激发了学生探索新知的兴趣,重点突出,容量适中,由浅入深,环环相扣、整个教学过程教师只是指导、点评,充分展示知识发生、发展的过程,由学生自主建构,在此过程中获得对知识的亲身体验,把教学的主动权给了学生,鼓励学生自主探索、研究性学习,使学生成为真正意义上的学习主人。 |
七、教学板书 |
方程的根与函数的零点 (1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点。 (2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点。 (3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点。 |