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第十一章 三角形章末复习

【知识与技能】

1.了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）.理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形.会画任意三角形的高、中线、角平分线.了解三角形的稳定性.

2.了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

3.了解多边形的有关概念（边、内角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式.

4.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.

【过程与方法】

结合图形回顾本章知识点，复习几种基本的画图，复习简单的证明技巧，在此基础上，进行典型题、热点题的较大量的训练，旨在提高同学们对三角形有关知识、多边形内角和、外角和知识综合运用能力.

【情感态度】

通过初步的几何证明的学习培养学生的推理能力，通过由特殊到一般的探究过程的训练培养学生的探索能力，创新能力，以达到培养学生良好学习习惯的目的.

【教学重点】

三角形的三条重要线段、三角形的内角和、外角和、多边形的内角和、外角和等知识的灵活运用.

【教学难点】

简单的几何证明及几何知识的简单应用.

一、知识框图，整体把握

二、回顾思考，梳理知识

1.本章的主要内容是：三角形的概念，三角形的三边关系定理，三角形的三条重要线段（高线、中线和角平分线）.三角形内角和定理.三角形的外角，多边形的内、外角和定理，简单的平面镶嵌.三角形的稳定性和四边形的不稳定性.

2.经历三角形内角和等于180°的验证与证明过程，初步体验对一个规律的发现到确认的艰辛历程.体会证明的重要性，初步接触辅助线在几何研究中不可或缺的作用.

3.三角形是我们认识许多其他图形的基础，如研究多边形的内角和时，就是过多边形的某顶点作出它的全部对角线，将多边形的内角和问题转化为三角形的内角和问题.

三、典例精析，复习新知

例1  如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为      .

分析：由三角形内角和定理得∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°.折叠以后，变成了四边形，因四边形的内角和为360°，故∠AED+∠BDE=360°-∠A-∠B=220°.在△CDE中，∠CDE+∠CED=180°-∠C=180°-40°=140°.所以∠2=220°-140°-∠1=60°.

例2  在绿茵场上，足球队带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？

解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中，理由说明如下：

延长CD到E，则∠ADE＞∠ACE，∠BDE＞∠BCE，所以∠ADE+∠BDE＞∠ACE+∠BCE，即∠ADB＞∠ACB.

【教学说明】1.本题作了一条辅助线，构造了两个三角形的外角，在说理中发挥了至关重要的作用；2.辅助线要画成虚线.

例3  已知一个等腰三角形的三边长分别为x，2x-1，5x-3，求其周长.

解：本题分类讨论，求出x后再求出三边，一定要检验是否符合三角形三边关系定理，若不符合，必须舍去.

（1）若x=2x-1，则x=1，此时三边为1，1，2，因为1+1=2，不符合三角形三边关系，舍去；

（2）若x=5x-3，x=.此时三边为，，，符合三角形三边关系，周长为++=2.

（3）若2x-1=5x-3，x=.此时三边为，，，因为+=，所以不符合三角形三边关系，舍去.综上，此等腰三角形周长为2.

例4  如图，D、E为△ABC内的两点，试说明AB+AC＞BD+EC+DE的理由.

解：本题显然要运用三角形三边关系定理证明.由于BD、DE、CE不是三角形的边，所以延长BD、CE交于F，再延长BF交AC于P，便可构成所需要的三角形，再运用三角形的三边关系定理经过变换证明结论.在△ABP中，AB+AP＞BP=BF+FP.在△PFC中，FP+PC＞FC=FE+EC.∴AB+AP+FP+PC＞BF+FP+FE+EC.即AB+AC＞BF+FE+EC=BD+DF+FE+EC.在△FDE中，DF+FE＞DE，所以BD+DF+FE+EC＞BD+DE+EC.所以AB+AC＞BD+DE+EC.

【教学说明】本题在延长BD、CE交于F后，也可以延长CF交AB于G，同样也可证明出结论.

例5  如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（    ）

A.150°

B.130°

C.120°

D.100°

分析：在四边形ADPE中，∠DPE=360°-∠A-∠ADP-∠AEP=360°-50°-90°-90°=130°.选B.

例6  如图所示，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线.

（1）试探求∠F与∠B、∠D间有何种等量关系.

（2）EF与FC能垂直吗？说明理由.

（3）若∠B∶∠D∶∠F=2∶x∶3，求x的值.

解：（1）∠D+∠B=2∠F.

∵EF平分∠BED，CF平分∠BCD，

∴∠1=∠BED，∠2=∠BCD.

而∠EMC=∠D+∠BED，∠EMC=∠F+∠BCD，

∴∠D+∠BED=∠F+∠BCD，①

同理可得：∠B+∠BCD=∠F+∠BED.②

①+②，得∠D+∠B=2∠F.

（2）能，若EF与FC垂直，即∠F=90°，

则∠B+∠D=180°.

也就是说，如果∠D与∠B互补，则EF⊥FC.

（3）∵∠B∶∠D∶∠F=2∶x∶3，

∴设∠B=2m，∠D=xm，∠F=3m.

由（1）得xm+2m=2×3m，

∴x=4.

例7  阅读下面的问题及解答：

如图（1），△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线交于O点，则∠BOC=90°+∠A=×180°+∠A，如图（2），△ABC中∠ABC、∠ACB的三等分线交于O1、O2，则∠BO₁C=×180°+∠A，∠BO2C=×180°+∠A.根据以上信息：

（1）你能猜想出它的规律？n等分时［内部有（n-1）个点］，∠BO1C=，∠BO_n-1C=（用含n的代数式表示）.

（2）根据你的猜想，当n=4时说明∠BO₃C的度数成立.

解：（1）当n=2时，∠BOC=×180°+∠A，当n=3时，∠BO₁C=×180°+∠A，∠BO2C=×180°+∠A.

由此可见，系数分母即是n，∠BO₁C的系数的第一个分子是n-1，第二个分子是1.由此可猜想∠BO₁C=×180°+∠A.同理：∠BO_n-1C=×180°+∠A.

（2）当n=4时，代入所猜想的公式得∠BO₃C=×180°+∠A.另外，在△BO₃C中，由三角形内角和定理得∠BO₃C=180°-（∠O₃BC+∠O₃CB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=×180°+∠A.结果与猜想一致.

【教学说明】本题是阅读猜想题，是热点题型，能大大激发学生的求知欲，深受师生欢迎.

例8  求证：两条平行线被第三条直线所截得的一组同旁内角的平分线互相垂直.

（仿照教材证明三角形内角和等于180°的过程进行证明，先画出图形，按图形写出已知和求证，再进行证明.）

解：已知：如图，AB∥CD，EF交AB、CD于E、F，EM平分∠BEF，FN平分∠DFE，EM与FN交于G.

求证：EM⊥FN

证明：∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE=180°.

∵EM平分∠BEF，FN平分∠DFE，

∴∠1=∠BEF，∠2=∠DFE.

∴∠1+∠2=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°.∴∠EGF=180°-（∠1+∠2）=90°.

∴EM⊥FN.

【教学说明】证明过程由“∵、∴”构成，要求每一步都有依据.

例9  一个多边形从某一个顶点出发截取一个角后，所形成的多边形的内角和是2520°，求原多边形的边数.

解：设原多边形是n边形，分两种情况讨论：（1）若截线不经过多边形的另一个顶点，则新多边形仍是n边形（如图（1））.由题设得（n-2）·180°=2520°.解得n=16；（2）若截线经过多边形的顶点，则新多边形（n-1）边形（如图（2）），由题设得（n-1-2）·180°=2520°.解得n=17.综上n=16或17.

1.布置练习：从教材“复习题11”中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

利用知识回顾与典型剖析，使学生进一步巩固和深化对所学知识的理解，建立起清晰的知识框架，形成严谨的思维习惯.