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14.2 乘法公式

14.2.1 平方差公式

【知识与技能】

会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.

【过程与方法】

1.在探究平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力.

2.培养学生观察、归纳、概括的能力.

【情感态度】

在计算过程中发现规律，用数学符号表示，感受数学的简洁美.

【教学重点】

平方差公式的推导和应用.

【教学难点】

理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.

一、情境导入，初步认识

出示下列习题，由学生分组完成：

1.计算：（x+3）（x-3），（t+2）（t-2），（3y+1）（3y-1），（x+y）（x-y）.

2.试用简便方法求结果：

（1）2001×1999=_____；

998×102=_______.

【教学说明】根据多项式乘以多项式法则可求得题1，题2根据题目特点，把因数变形得2001×1999=（2000+1）（2000-1）=2000²-1×2000+1×2000+1×（-1）=2000²-1=3999999.

要求学生以小组为单位，共同探究上述过程的结构特征与变化特征，并从中总结出一般性规律来.

教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.

二、思考探究，获取新知

由学生进行充分的交流探讨后，师生共同归纳.

上述结构的式子用公式表示为：（a+b）（a-b）=a²-b²，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，称之为平方差公式.

（1）推导：（a+b）（a-b）=a²-ab+ab-b²=a²-b².

（2）公式特点：左边是两个二项式相乘，这两项中有一项是相同的，另一项互为相反数，右边是乘式中两项的平方差（相同数的平方减去互为相反数的平方）.

（3）公式中的a、b可以是数、单项式或多项式.

（4）符合平方差公式特点的乘法式子可直接套用公式.

例1下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果.

（1）（2a-3b）(3b-2a);

(2)(-2a+3b)(2a+3b);

(3)(-2a-3b)(-2a+3b);

(4)(2a+3b)(2a-3b);

(5)(-2a-3b)(2a-3b);

(6)(2a+3b)(-2a-3b);

【分析】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可用平方差公式.

解：（1）（6）不能用平方差公式，（2）（3）（4）（5）可以用平方差公式.

例2计算：

（1）59.9×60.1；（2）102×98.

【分析】（1）中的两个因式分别变成60-0.1和60+0.1，再用平方差公式计算；（2）中两个因式分别可转化成100+2与100-2.

【教学说明】运用平方差公式计算，先要观察所要计算的式子（或经转化后的式子）是否具有平方差公式的结构特征，然后套用公式计算.

例3利用平方差公式计算下列各题.

（1）（2x+1）（2x-1）-3x².

（2）（1-2x）（1+2x）（1+4x²）（1+16x⁴）.

【分析】（1）中的乘法计算可用平方差公式；（2）应先进行（1-2x）（1+2x）的计算，再逐步应用平方差公式求得结果.

三、运用新知，深化理解

1.计算下列各题.

2.利用平方差公式计算下列各题：

（1）499×501；

（2）2002×2004-2003².

3.请认真分析下面一组等式的特征：

1×3=2²-1，

3×5=4²-1，

5×7=6²-1，

……

猜想这一组等式有什么规律.将你猜想到的规律用一个只含字母n的式子表示出来.

【教学说明】要求学生独立完成上述各题，再与小组成员交流，查漏纠错.

四、师生互动，课堂小结   

阅读下列材料，回忆巩固平方差公式.

平方差公式的几何意义也就是利用图形来表示公式.如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式就是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a²-b².

1.布置作业：从教材“习题14.2”中选取部分题.

2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.

平方差公式体现了特殊多项式相乘的结果，教师可引导学生由多项式乘法法则推出，然后引导学生观察公式的结构特征，从本质上认识符合公式特征的多项式相乘，以便于灵活解决实际问题.