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解直角三角形

一、内容和内容解析

1．内容

直角三角形中各个元素之间的关系，运用这些关系解直角三角形：例1，例2．

2．内容解析

本课内容是在学习锐角三角函数及特殊角三角函数的基础上，结合三角形内角和、勾股定理、直角三角形两锐角互余，打破以往由边求边，由角求角的模式，解直角三角形．问题是通过一个实际问题引出已知直角三角形的一个锐角和斜边求另一条直角边，以及已知斜边和一条直角边求锐角的问题；探究栏目让学生通过自己的活动探索得出，已知直角三角形的某两个元素，这个三角形就可以确定下来．例1是已知直角三角形两直角边解直角三角形，给出了解题格式；例2是已知直角三角形中的一个锐角和这个锐角的对边来解直角三角形．这两个例题都是已知两个元素来解直角三角形，为使学生熟悉解直角三角形的一般方法而设计的．通过本节课，体会直角三角形中两个元素确定下来后，这个三角形就可以确定下来，灵活运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

基于以上分析，本节课的教学重点是：掌握解直角三角形的一般方法．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）在理解直角三角形五个元素之间的关系的基础上，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；

（2）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形结合的意义与作用．

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：能够运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数，在已知一边和另外一元素的基础上，求出其他三种元素．

达成目标（2）的标志是：能将开篇的问题转化为数学问题，建立数学模型，在探究活动中互相交流合作，推理出其他直角三角形的未知量，发展学生分析问题解决问题的能力，增强学生应用数学知识解决问题的意识，感受到数学的应用价值．

三、教学问题诊断分析

学生前面已经学习过勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数这些知识，以往的解题中往往是只运用其中的一个知识来解决问题，都是一些特殊问题，但实际生活中，往往遇到的是一般性问题，需要学生将实际问题抽象成数学问题，也就是本节解直角三角形的问题，在众多的关于直角三角形各个元素之间的关系中，采用什么关系式，运用什么方式去解直角三角形成为学生解决问题的难点．学生往往不能快速准确的选择出最优方案，常常绕一个大圈子才把问题解决，这就需要引导学生如何灵活运用直角三角形各元素之间的关系．

本课的教学难点是：选择适当的关系式，灵活运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

四、教学过程设计

1．创设情境，引入新课

问题1　意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2 m，而且还以每年增加1 cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm．

如果要你根据上述信息，用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜度，你能完成吗？

师生活动：学生思考，教师引导学生将实际问题转化为数学问题，建立模型，画出图形，标出已知量和未知量．

设计意图：从实际情境中引出解直角三角形，建立数学模型，将实际问题抽象数学问题．

2．共同探究，获取新知

问题2　（1）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？

（2）知道五个中的几个，就可以求其余元素？

师生活动：学生独立思考，弄清这是一个关于解直角三角形的问题，回忆勾股定理、三角函数及直角三角形两个锐角互余，它们分别体现了直角三角形中哪些元素之间的关系，尝试借助这些关系解直角三角形．教师可以通过设置以下问题，引导学生逐步分析，最后解决问题，总结方法．

（1）直角三角形除直角外的五个元素有哪些？有几类？这些元素之间有几类关系？

（2）直角三角形边与边的关系有哪些？直角三角形边与角的关系有哪些？直角三角形中角与角的关系有哪些？

（3）问题（2）中，只知道角可以求出其他元素吗？只知道边可以求出其他元素吗？

（4）想一想至少要知道几个条件才能解直角三角形？

在此活动中，教师应重点关注：

是否能列举出所有直角三角形边与角的关系；是否能够选择出需要的关系，并将关系变形求解直角三角形；利用直角三角形的判定定理引导学生体会直角三角形哪些元素一定后，这个直角三角形就确定了．

设计意图：让学生通过探究看到：若已知直角三角形的某两个元素，这个直角三角形就能确定下来，可以利用这两个条件求出其他的元素，并且这两个元素至少有一条边．在探究的过程中体会勾股定理解决边与边的关系，三角函数解决边与角的关系，直角三角形两个锐角互余，在解直角三角形的过程中，要根据所需适当变形，得到其他的未知量．

3．新知应用，解决问题

问题3　解直角三角形．

（1）在Rt△ABC中，∠C=90゜，AC=，BC=，解这个直角三角形．

（2）在Rt△ABC中，∠C=90゜，∠B=35゜，b=20，解这个直角三角形．（结果保留小数点后一位）

师生活动：教师先让学生观察这两个例题的异同，再让学生分别解这两个直角三角形，最后总结解直角三角形实际上就是求两类问题：一是已知两边，解直角三角形；二是已知一边和一角，解直角三角形．让学生在独立思考的基础上进行交流展示，教师对学生中出现的不同解法给予点评，并规范书写过程．

设计意图：分别给出已知一角一边和已知两边解直角三角形的例题，发散学生思维，让学生选择不同的方法解直角三角形，在对比各种方法后体会如何灵活运用边角的关系解直角三角形．

4．巩固新知，学以致用

练习：教科书第87页练习．

设计意图：巩固性练习，选择适当的方法解直角三角形，感受数学解题的多样性和灵活性．

5．反思小结，形成方法

教师与学生一起回顾本课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）直角三角形五个要素之间有哪些关系？

（2）在解直角三角形可以分为几种类型？应选择什么样的方法解直角三角形？

设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，巩固解直角三角形所用到的数量关系，进一步灵活选择适当的关系解直角三角形．

6．布置作业

教科书第92页习题28.2第1题、第2题．

五、目标检测设计

1．已知在Rt△ABC中，∠C=90゜，a=2，b=2，求∠B，∠A，c．

设计意图：让学生体会三角函数在解直角三角形中的应用，体会用勾股定理或者三角函数都可以求边长，感受数学方法的多样性．