高中物理人教版必修2:第五章 曲线运动

1．曲线运动

三维目标

知识与技能

1．知道曲线运动物体的位置确定方法，了解曲线运动物体的位移；

2．知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动；

3．掌握运动的合成和分解的基本方法，能用于研究蜡块的运动；

4．知道物体做曲线运动的条件是所受的合外力与它的速度方向不在一条直线上。

过程与方法

1．体验曲线运动与直线运动的区别；

2．体验曲线运动是变速运动及它的速度方向的变化；

3．体验用直线运动的思路来研究曲线运动。

情感、态度与价值观

1．能领略曲线运动的奇妙与和谐，发展对科学的好奇心与求知欲；

2．有参与科技活动的热情，将物理知识应用于生活和生产实践中。

教学重点

1．物体做曲线运动速度的方向的确定；

2．通过描述运动的实例，了解研究曲线运动的方法；

3．物体做曲线运动的条件。

教学难点

1．用直线运动的思路来研究曲线运动，了解研究曲线运动的方法；

2．物体微曲线运动的条件。

教学方法

探究、讲授、讨论、练习、归纳、推理法。

教具准备

音像资料、多媒体教学系统及课件、斜面、小钢球、小木球、条形磁铁、演示红蜡烛运动的有关装置。

教学过程

［新课导入］

前面我们研究了直线运动，下面请同学们思考两个问题：①什么是直线运动？②物体做直线运动的条件是什么？

在实际生活中，普遍发生的是曲线运动。下落的树叶、运动员掷出的铁饼、发射出的导弹、汽车拐弯等的运动是曲线运动，地球、月球、人造卫星等天体的运动也都是曲线运动。

从现在开始，我们研究质点沿曲线运动时所遵循的规律。这一节的任务是找出描述曲线运动的方法，下一节将根据牛顿运动定律得出质点做曲线运动的规律。这个思路与研究直线运动是一样的。

那么什么是曲线运动呢？从本节课开始我们就来学习这个问题。

［新课教学］

一、曲线运动

【屏幕展示】导弹所做的运动、汽车转弯时所做的运动、人造卫星绕地球的运动等几种物体所做的曲线运动。

总结：它们的运动轨迹都是曲线。

【演示】演示平抛运动，该运动的特征是什么？（轨迹是曲线）

这里我们看到一种我们前面没有学过的运动形式，它与我们前面学过的运动形式有本质的区别。前面我们学过的运动的轨迹都是直线，而我们现在看到的这种运动的轨迹是曲线，我们把这种运动称为曲线运动。

轨迹是曲线的运动叫曲线运动。

其实曲线运动是比直线运动普遍的运动情形，微观世界里如电子绕原子核旋转；宏观世界里如天体运行；生活中如投标抢、掷铁饼、跳高、既远等均为曲线运动。

二、曲线运动的位移

1．曲线运动的位置

研究物体运动时，坐标系的选取是很重要的。在直线运动中有直线坐标就能确定质点的位置，用坐标的变化量可以确定质点的位移。

当我们把一个物体沿水平方向抛出，它不会一直在水平方向上运动，而是沿着一条曲线落向地面。这种情况下无法应用直线坐标系，而应该选择平面直角坐标系。

例如，这个坐标系的原点可以选在物体离开手掌时的位置，同时让x轴沿水平抛出的方向、y轴沿竖直向下的方向，如图。

当物体运动到A点时，物体的位置可以用位置坐标xA、yA表示。

做曲线运动的质点某时刻的位置用平面直角坐标（xA、yA）表示。

2．曲线运动的位移

做曲线运动的质点相对于抛出点的位移是OA，可以用l表示。然而这类问题中位移矢量l的方向在不断变化，运算不太方便，所以要尽量用它在坐标轴方向的分矢量来代表它。由于两个分矢量的方向是确定的，所以只用A点的坐标就能表示它们，于是问题就简单了。

（1）大小

（2）方向

设位移方向与x轴正方向的夹角为α，有

三、曲线运动的速度

在前面学习直线运动的时候我们已经知道了任何确定的直线运动都有确定的速度方向，这个方向与物体的运动方向相同，现在我们又学习了曲线运动，大家想一想我们该如何确定曲线运动的速度方向?

【思考与讨论】

观察下面两图中描述的现象，你能不能说清楚，砂轮打磨下来的炽热微粒、飞出去的链球，它们沿着什么方向运动？

射出的火星是砂乾与刀具磨擦出的微粒，由于惯性，以脱离砂轮时的速度沿切线方向飞出，切线方向即为火星飞出时的速度方向。对于链球也是同样的道理，它们也会沿着脱离点的切线方向飞出。

运动员掷链球时，链球在运动员的牵引下做曲线运动，一旦运动员放手，链球即刻飞出。放手的时刻不同，链球飞出的方向也不一样，可见做曲线运动的物体，不同时刻的速度具有不同的方向。所以，在研究曲线运动的速度时，我们首先考虑怎样确定物体在某一时刻的速度方向。

1．曲线运动速度的方向

刚才的几个物体的运动轨迹都是圈，我们总结曲线运动的方向沿着切线方向，但对于一般的曲线运动是不是也是这样呢?下面我们来做个实验看一看，一般的曲线运动是什么情况。

【演示】

如图所示，水平桌面上摆一条曲线轨道，它是由几段稍短的轨道组合而成的。钢球由轨道的一端滚入（通过压缩弹簧射入或通过一个斜面滚入），在轨道的束缚下做曲线运动。在轨道的下面放一张白纸，蘸有墨水的钢球从出口A离开轨道后在白纸上留下一条运动的痕迹，它记录了钢球在A点的运动方向。

拆去一段轨道，钢球的轨道出口改在图中B。同样的方法可以记录钢球在轨道B点的运动方向。

白纸上的墨迹与轨道（曲线）有什么关系？

墨迹与轨道只有一个交点，说明了墨迹所在的直线为轨道所在曲线在该点的切线，也就是说质点在某一点（或某一时刻）的速度的方向是在曲线的这一点的切线方向。

在讨论曲线运动的速度方向时要明确一个数学概念：曲线的切线。初中数学中我们已经知道圆的切线，对于其他曲线，切线指的是什么？

如图所示，过曲线上的A、B两点作直线，这条直线叫做曲线的割线。设想B点逐渐向A点移动，这条割线的位置也就不断变化。当B点非常非常接近A点时，这条割线就叫做曲线在A点的切线（tangent）。

质点在某一点（或某一时刻）的速度的方向，沿曲线在这一点的切线方向。

2．曲线运动是变速运动

【思考讨论】

①在曲线运动中如何求某点的瞬时速度？

分析：用与直线运动相同的思维方法来解决。

先求AB的平均速度，t越小，vAB越接近A点的瞬时速度vA，当t→0时，即可求出A点的瞬时速度vA，A点的瞬时速度方向为该点的切线方向。

②在曲线运动中，曲线运动的速度和直线运动的速度最大的区别是什么？

在运动的过程中，直线运动的速度方向始终在一条直线上，不会时刻发生变化，而曲线运动速度方向时刻在变。

直线运动的速度大小和方向都可以不变，加速度可以为零。曲线运动的方向时刻在变，加速度一定不为零。

由速度的性质知，速度是矢量，既有大小又有方向。在匀变速运动中，速度大小发生变化，我们说这是变速运动，而在曲线运动中，速度方向时刻在改变，我们也说它是变速运动。

速度是矢量，它既有大小，又有方向。不论速度的大小是否改变，只要速度的方向发生改变，就表示速度矢量发生了变化，也就具有加速度。曲线运动中速度的方向时刻在变，所以曲线运动是变速运动。

速度大小、方向中的一个或两个同时变化，就表示速度矢量发生了变化。由于做曲线运动的物体，速度方向时刻改变，所以不论曲线运动物体的速度大小是否改变，它的速度矢量都发生了变化，一定有加速度，是变速运动。

曲线运动→速度方向时刻改变→速度矢量时刻改变→一定有加速度→合力一定不等于零→一定是变速运动。

曲线运动必有加速度，一定是变速运动。

3．曲线运动的速度

（1）分速度

速度是矢量，它与其它矢量一样，可以用它在相互垂直的两个分矢量来表示，这两个分矢量叫分速度。

曲线运动速度相互垂直的两个分矢量叫分速度。

（2）曲线运动的速度与分速度的关系

我们仍以被抛出的物体的运动为例，物体的速度记为v，沿曲线的切线方向，vx、vy是它在两个坐标轴方向的分速度。如果速度方向与x轴的夹角是θ，按照锐角三角函数的定义，两个速度vx、vy与速度的关系是

vx＝vcosθ

vy＝vsinθ

【例题】飞机起飞时v＝300 km/h的速度斜向上飞，飞行方向与水平面的夹角θ＝30º。求水平方向的分速度vx和竖直方向的分速度vy。

分析和解  飞机斜向上飞的运动可以看做它在水平方向和竖直方向的两个分运动的合运动。把v＝300 km/h按水平方向和竖直水平方向分解，如图，可得

vx＝vcos30°＝260 km/h

vy＝vsin30°＝150 km/h

飞机在水平方向和竖直方向的分速度分别为260 km/h和150 km/h。

四、运动描述的实例

分析下面的实例，对于怎样用物体的位置（位移）和速度描述它在平面中的运动，可以有些更清晰的认识。

【演示】

在一端封闭、长约1m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体R，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧（图甲）。

将这个玻璃管倒置，（图乙），蜡块R就沿玻璃管上升。如果旁边放一个米尺，可以看到蜡块上升的速度大致不变，即蜡块做匀速直线运动。

再次将玻璃管上下颠倒，在蜡块上升的同时将玻璃管水平向右匀速移动，观察蜡块的运动。

这个实验中，蜡块既向上做匀速运动，又由于玻璃管的移动向右做匀速运动，在黑板的背景前我们看出蜡块是向右上方运动的。那么，蜡块的“合运动”是匀速运动吗？合运动的轨迹是直线吗？这些都不是单凭观察能够解决的。

红蜡块可看成是同时参与了下面两个运动，在玻璃管中竖直向上的运动和随玻璃管水平向右的运动，红蜡块实际发生的运动是这两个运动合成的结果。

1．运动的合成和分解

（1）合运动和分运动

①合运动：由几个简单运动组成的整体运动，叫做合运动。

上面的实验中，红蜡块实际发生的运动，即蜡块相对于黑板向右上方的运动叫做合运动。

②分运动：组成合运动的几个简单运动，叫做分运动。

上面的实验中，蜡块沿玻璃管的运动和它随着玻璃管向右的运动，都叫做分运动；

明确了合运动和分运动的概念之后，我们就可以得出运动合成与分解的概念了

（2）运动的合成和分解

①运动的合成

由分运动求合运动的过程叫做运动的合成（composition ofmotion）；

②运动的分解

由合运动求分运动的过程，叫做运动的分解（resolutionof motion）。

③运动的合成和分解遵循平行四边形定则

现在来考虑我们在对蜡块的速度、位移进行分解与合成的时候是采用的什么方法？或者说是在合成与分解的过程中合速度与分速度、合位移与分位移之间存在着什么样的联系？（合速度是两个分速度通过平行四边形定则求出来的，也就是它们之间是进行的矢量加减，合位移与分位移之间也存在这种关系。）

也就是说在运动的合成与分解的过程中，统一的遵守着平行四边形定则。之所以会出现这种规律，其根本在于我们在运动的合成与分解中所合成与分解的各个物理量都是矢量，而矢量的加减是遵循平行四边形定则的。

（3）运动合成的两个重要特性

现在来考虑各个分运动之间有什么关系？（就蜡块的运动来说，当玻璃管上下颠倒后静止时，在竖直方向上蜡块做的是匀速直线运动，当玻璃管上下颠倒后增加了一个向右的匀速直线运动后，蜡块竖直方向的运动仍然为匀速直线运动，也就是说，蜡块在竖直方向上的分运动并不会受到其他分运动的影响。）

实际上不仅仅蜡块竖直方向上的分运动不受其他分运动的影响，在运动的过程中，虽然体现出来的是合运动的运动效果，但各个分运动仍然保持各自的独立性，并不会因为参与了运动合成而改变自己的状态，在运动的合成的过程中，各个分运动是互不影响的。我们把这个特点称为运动的合成与分解的独立性原理。

①运动的独立性

任一分运动都不会因另一方向上的分运动而受到影响，亦即组成合运动的所有分运动都是各自独立的。

运动的独立性是运动挽叠加的基础，也是解题中的重要依据之一。

②运动的同时性

现在再来想一下，在运动的合成与分解的过程中，合运动和各个分运动之间有什么关系？（合运动和分运动总是同时开始同时结束，没有合运动也就没有分运动，反之也成立，即没有分运动也就没有合运动。）

很好，对于运动的合成与分解过程的这个特点，我们把它称为运动的合成与分解的同时性原理。也就是说，在物体的运动过程中，合运动持续的时间和各分运动所持续的时间是致的。这是合运动与分运动之间的关系。

合运动和组成它的所有分运动，在运动过程中到达对应位置所经历的时间都是相等的，这就是运动的同时性。  

2．蜡块运动的分析

对于直线运动，很明显，其运动轨迹就是直线，直接建立直线坐标系就可以解决问题，但如果是一个运动轨迹不确定的运动还能这样处理吗？很显然是不能的，这时候我们可以选择平面内的坐标系了。比如选择我们最熟悉的平面直角坐标系。下面我们就来看一看怎样在乎面直角坐标系中研究物体的运动。

（1）蜡块的位置

建立如图所示的平面直角坐标系：选蜡块开始运动的位置为原点，水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的正方向。

在观察中我们已经发现蜡块在玻璃管中是匀速上升的，所以我们设蜡块匀速上升的速度为vy，玻璃管向右匀速运动的速度为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，我们就可以得到蜡块在t时刻的位置P(x，y)，我们该如何得到点p的两个坐标呢？

蜡块在两个方向上做的都是匀速直线运动，所以x、y可以通过匀速直线运动的位移公式x＝vt获得，即：

x＝vxt

y＝vyt

这样我们就确定了蜡块运动过程中任意时刻的位置，然而要知道蜻块做的究竟是什么运动这还不够，我们还要知道蜡块的运动轨迹是什么样的。下面我们就来操究这个问题。

（2）蜡块的位移

在直线运动中我们要确定物体运动的位移，我们只要知道物体的初末位置就可以了，对于曲线运动也是一样的。在前面建立坐标系的时候我们已经说过了，物体开始运动的位置为坐标原点，现在我们要找任意时刻的位移，只要再找出任意时刻t物体所在的位置就可以了。

实际上这个问题我们已经解决了，前面我们已经找出物体在任意时刻的位置P(x，y)，请同学们想一下在坐标中物体位移应该是怎么表示的呢？

在坐标系中，线段OP的长度就代表了物体位移的大小。现在我找一位同学来计算一下这个长度。

我们在前面的学习中已经知道位移是矢量，所以我们要计算物体的位移仅仅知道位移的大小是不够的，我们还要再计算位移的方向。这应该怎样来求呢？

因为坐标系中的曲线就代表了物体运动的轨迹，所以我们只要求出该直线与x轴的夹角θ就可以了，它的正切值为

tanθ＝

这样就可以求出θ，从而得知位移的方向。

现在我们已经知道了蜡块做的是直线运动，并且求出了蜡块在任意时刻的位移，但我们还不知道蜡块做的是什么样的直线运动，要解决这个问题，我们还需要求出蜡块的速度。

（3）蜡块的速度

根据我们前面学过的速度的定义，物体在某过程中的速度等于该过程的位移除以发生这段位移所需要的时间，即前面我们已经求出了蜡块在任意时刻的位移的大小，所以我们可以直接计算蜡块的位移，直接套入速度公式我们可以得到什么样的速度表达式？带入公式可得：

＝

根据三角函数的关系，还可以确定速度v的方向，即角θ的正切

tanθ＝

分析这个公式我们可以得到什么样的结论？

vx、vy都是常量，也是常量。也就是说蜡块的速度是不发生变化的，即蜡块做的是匀速运动。

速度v和两个分速度vx、vy的关系也可以根据三角函数的关系和勾股定理导出。

（4）蜡块的运动轨迹

我们在数学课上就已经学过了怎样在坐标中表示一条直线或曲线。在数学上，关于x、y两个变量的方程就可以代表一条直线或曲线，现在我们要找的蜡块运动的轨迹，实际上我们只要找到表示蜡块运动轨迹的方程就可以了。观察我们刚才得到的关于蜡块位置的两个方程，发现在这两个关系式中，除了x、y之外还有一个变量，那我们应该如何来得到蜡块的轨迹方程呢？

根据数学上的消元法，我们可以从这两个关系式中消去变量t，就可以得到关于x，y两个变量的方程了。实际上我们前面得到的两个关系式就相当于我们在数学上学到的参数方程，消t的过程实际上就是消参数的过程。

从这两个关系式中消去变量t，得到

现在我们对上式进行数学分析，看看它究竟代表的是一条什么样的曲线呢？

由于蜡块在x、y两个方向上做的都是匀速直线运动，所以vy、vx都是常量，所以也是常量，可见代表的是一条过原点的倾斜直线。

在物理上这代表什么意思呢？

这也就是说，蜡块相对于黑板的运动轨迹是直线，即蜡块做的是直线运动。

五、物体做曲线运动的条件

为什么有些物体做直线运动，有些物体做曲线运动呢?下面我们通过几个实验来研究以下这个问题。

【演示】

如图所示的装置放在水平桌面上，在斜面顶端放置一钢球，放开手让钢球自由滚下，观察钢球在桌面上的运动情况，记住钢球的运动轨迹。（钢球做直线运动，速度逐渐减小。）

请同学们来分析钢球在桌面上的受力情况？（钢球受竖直向下的重力，竖直向上的支持力，还受到滑动摩擦力的作用。）

摩擦力的方向如何？（摩擦力的方向与运动方向在同一直线上，但与运动方向相反）

在刚才的实验中，钢球的运动路径旁边放一块磁铁，重复刚才的实验操作，观察钢球在桌面上的运动情况？（钢球做曲线运动）

分析钢球在桌面上的受力情况？（钢球受竖直向下的重力，竖直向上的支持力，还受到方向与运动方向相反的滑动摩擦力的作用，此外还受到磁铁的吸引力。）

引力的方向如何？（引力的方向随着钢球的运动不断改变，但总是不与运动方向在同一直线上。）

把上次实验用的钢球改为同等大小的木球重复上次实验，观察木球运动情况？（木球做直线运动，速度不断减小。）

分析木球在桌面上的受力情况？（木球受竖直向下的重力、竖直向上的支持力，还受到方向与运动方向相反的滑动摩擦力的作用，木球并不受到磁铁给它的吸引力。）

随手抛出一个粉笔头，观察粉笔头的运动状态？（粉笔头做曲线运动）

分析粉笔头的受力情况？（受竖直向下的重力的作用。）

在以上几个实验中，第一个钢球只受到与运动方向在同一条直线上与运动方向垂直的力的作用，做的是直线运动，木球同样也受到这样的力的作用，也是做直线运动，面第二个钢球受到一个与运动方向成一定夹角的力的作用，做的是曲线运动；粉笔头受的重力与它的运动方向也不在同一条直线上，粉笔头傲曲线运动。由此我们可以得出什么样的情况下物体会做曲线运动？

1．当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动

抛出的石子，由于所受重力的方向与速度的方向不在一条直线上，所以石子做曲线运动；人造地球卫星绕地球运行，由于地球对它的引力与速度的方向不在同一直线上，所以卫星做曲线运动。

2．做曲线运动的物体，它的加速度方向跟它的速度方向也不同一直线上

因加速度方向跟它所受合力方向相同，所以，做曲线运动的物体，它的加速度方向跟它的速度方向也不同一直线上。

3．物体做直线运动和曲线运动条件的理论解释

物体做直线运动和曲线运动条件，可以根据牛顿第二定律平来解释。

当合力的方向与物体的速度方向在同一直线上时，产生的加速度也在这条直线上，物体就做直线运动。

如果合力的方向跟速度方向不在同一条直线上，而是成一角度，产生的加速度也是跟速度的方向不在一条直线上，而是成一夹角，这时，合力不但可以改变速度的大小，而且可以改变速度的方向，使物体就做曲线运动。做曲线运动的物体所受的合力，可分解为切向力和法向力，切向力改变速度的大小，法向力改变速度的方向。

4．曲线运动轨迹弯曲的特点

实例分析：将物体抛出后物体在重力的作用下做曲线运动。

结论：（1）做曲线运动的物体，所受的合力偏在速度的哪一侧，轨迹就向哪一侧弯曲；（2）曲线运动的轨迹一定夹在速度与力矢量之间。

［布置作业］

教材第7页“问题与练习”。