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两条直线平行与垂直的判定

1．理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点)

2．会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点)

3．能利用直线的斜率来判断含字母参数的两直线的平行或垂直．(易错点)

[基础·初探]

教材整理1　两条直线平行与斜率的关系

阅读教材P₈₆“练习”以下至P₈₇“例3”以上部分，完成下列问题．

设两条不重合的直线l₁，l₂，倾斜角分别为α₁，α₂，斜率存在时斜率分别为k₁，k₂.则对应关系如下：

　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若两条直线斜率相等，则两直线平行．(　　)

(2)若l₁∥l₂，则k₁＝k₂.(　　)

(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．(　　)

(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行．(　　)

【解析】　(1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确．

【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

教材整理2　两条直线垂直与斜率的关系

阅读教材P₈₈“例5”以上部分，完成下列问题．

直线l₁，l₂的斜率是方程x²－3x－1＝0的两根，则l₁与l₂的位置关系是(　　)

A．平行　                                          B．重合

C．相交但不垂直                              D．垂直

【解析】　设两直线的斜率分别为k₁，k₂，则k₁·k₂＝－1，故l₁与l₂垂直．

【答案】　D

[小组合作型]

　根据下列给定的条件，判断直线l₁与直线l₂是否平行．

(1)l₁经过点A(2,1)，B(－3,5)，l₂经过点C(3，－3)，D(8，－7)；

(2)l₁经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l₂经过点G(3,4)，H(2,3)；

(3)l₁的倾斜角为60°，l₂经过点M(1，)，N(－2，－2)；

(4)l₁平行于y轴，l₂经过点P(0，－2)，Q(0,5)．

【精彩点拨】　先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行．

【自主解答】　(1)由题意知，k₁＝＝－，k₂＝＝－，所以直线l₁与直线l₂平行或重合，

又k_BC＝＝－≠－，故l₁∥l₂.

(2)由题意知，k₁＝＝1，k₂＝＝1，所以直线l₁与直线l₂平行或重合，k_FG＝＝1，故直线l₁与直线l₂重合．

(3)由题意知，k₁＝tan 60°＝，k₂＝＝，k₁＝k₂，所以直线l₁与直线l₂平行或重合．

(4)由题意知l₁的斜率不存在，且不是y轴，l₂的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l₁∥l₂.

1．判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行．因为斜率相等也可以推出两条直线重合．

2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解．

[再练一题]

1．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值.

【解】　当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；

当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；

当m≠－2且m≠－1时，k_PQ＝＝，

k_MN＝＝.

因为直线PQ∥直线MN，所以k_PQ＝k_MN，

即＝，解得m＝0或m＝1.

当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合．

综上，m的值为0或1.

　(1)l₁经过点A(3,2)，B(3，－1)，l₂经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l₁与l₂是否垂直；

(2)已知直线l₁经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l₂经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l₁⊥l₂，求a的值．

【精彩点拨】　(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；

(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．

【自主解答】　(1)直线l₁的斜率不存在，直线l₂的斜率为0，所以l₁⊥l₂.

(2)由题意，知l₂的斜率k₂一定存在，l₁的斜率可能不存在．

当l₁的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k₂＝0，

则l₁⊥l₂，满足题意．

当l₁的斜率k₁存在时，a≠5，

由斜率公式，得

k₁＝＝，k₂＝＝.

由l₁⊥l₂，知k₁k₂＝－1，

即×＝－1，解得a＝0.

综上所述，a的值为0或5.

利用斜率公式来判定两直线垂直的方法

1．一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．

2．二代：就是将点的坐标代入斜率公式．

3．三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．

[再练一题]

2．(1)l₁经过点A(3,4)和B(3,6)，l₂经过点P(－5,20)和Q(5,20)，判断l₁与l₂是否垂直；

(2)直线l₁过点(,1)，(－3，m)，直线l₂过点(m，m)，(1，－2)，若l₁与l₂垂直，求实数m的值．

【解】　(1)直线l₁的斜率不存在，直线l₂的斜率为0，

∴l₁⊥l₂.

(2)①当两直线斜率都存在，即m≠－且m≠1时，有k₁＝，k₂＝.

∵两直线互相垂直，∴×＝－1.∴m＝－1.

②当m＝1时，k₁＝0，k₂不存在，此时亦有两直线垂直．

当＝－3，m＝－时，k₁不存在，k₂＝＝＝－，l₁与l₂不垂直．

综上可知，实数m＝±1.

[探究共研型]

探究1　已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断△ABC的形状吗？

【提示】　如图，AB边所在的直线的斜率k_AB＝－，BC边所在直线的斜率k_BC＝2.由k_AB·k_BC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.

∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．

探究2　已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？

【提示】　以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则k_AC＝，k_BC＝，所以·＝－1，得x＝1或2，所以C(1,0)或(2,0)．

　已知四点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.

【精彩点拨】　画出图形，由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．

【自主解答】　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图．由斜率公式可得k_AB＝＝，

k_CD＝＝，

k_AD＝＝－3，

k_BC＝＝－，

k_AB＝k_CD，由图可知AB与CD不重合，

∴AB∥CD.

由k_AD≠k_BC，

∴AD与BC不平行．

又∵k_AB·k_AD＝×(－3)＝－1，

∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形．

1．利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．

2．由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．

[再练一题]

3．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．

【解】　设D(x，y)，则k_AB＝＝1，k_BC＝＝－，k_CD＝，k_DA＝.因为AB⊥CD，AD∥BC，所以k_AB·k_CD＝－1，k_DA＝k_BC，

所以

解得

即D(10，－6).

1．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　)

A．－3                                                B．3

C．－                                              D.

【解析】　因为直线l∥AB，所以k＝k_AB＝＝3.

【答案】　B

2．过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为

(　　)

A．垂直                                              B．平行

C．重合                                              D．以上都不正确

【解析】　过点(，)，(0,3)的直线的斜率k₁＝＝－；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k₂＝＝＋.因为k₁·k₂＝－1，所以两条直线垂直．

【答案】　A

3．已知直线l₁的倾斜角为60°，直线l₂的斜率k₂＝m²＋－4，若l₁∥l₂，则m的值为________．

【解析】　由题意得m²＋－4＝tan 60°，解得m＝±2.

【答案】　±2

4．直线l₁的斜率为2，直线l₂上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l₁⊥l₂，则x＝______，y＝________.

【解析】　∵l₁⊥l₂，且l₁的斜率为2，则l₂的斜率为－，∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7.

【答案】　－1　7

5．已知四点A(2,2＋2)，B(－2,2)，C(0,2－2)，D(4,2)，顺次连接这四点，试判断四边形ABCD的形状．(说明理由)

【解】　∵k_AB＝＝，

k_BC＝＝－，

k_AD＝＝－，

k_CD＝＝，

∴k_AB＝k_CD，k_BC＝k_AD.

∴AB∥CD且BC∥AD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵k_AB·k_BC＝－1，

∴AB⊥BC，

∴四边形ABCD是矩形．