选修4-5第1节　绝对值不等式

最新考纲　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.

知 识 梳 理

1.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集

(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔________；

②|ax＋b|≥c⇔________；

(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

2.含有绝对值的不等式的性质

(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤________，当且仅当________时，等号成立.

(2)如果a，b，c是实数，那么________，当且仅当________时，等号成立.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.(　　)

(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.(　　)

(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.(　　)

(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.(　　)

(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.(　　)

2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　　)

A.(－∞，4)   B.(－∞，1)   C.(1，4)   D.(1，5)

3.(选修4－5P19习题T9改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________.

4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.

5.设a>0，|x－1|<3(a)，|y－2|<3(a)，求证：|2x＋y－4|<a.

考点一　绝对值不等式的解法

【例1－1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.

(1)在图中画出y＝f(x)的图象；

(2)求不等式|f(x)|>1的解集.

【例1－2】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝－x²＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围.

规律方法　1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想.

2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.

【训练1】 已知函数f(x)＝|x－2|.

(1)求不等式f(x)＋x²－4>0的解集；

(2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x)<g(x)的解集非空，求实数m的取值范围.

考点二　绝对值不等式性质的应用

【例2－1】 设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.

(1)证明：b(1)<4(1)；

(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由.

【例2－2】 对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m.

(1)求m的值；

(2)(一题多解)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.

规律方法　1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法.

2.含绝对值不等式的证明中，要注意绝对值三角不等式的灵活应用.

【训练2】 对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围.

考点三　绝对值不等式的综合应用

【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.

(1)求不等式f(x)≥1的解集；

(2)若不等式f(x)≥x²－x＋m的解集非空，求m的取值范围.

规律方法　1.例3第(1)问分段讨论，求得符合题意的x取值范围，最后取并集.

2.(1)不等式恒成立问题，解集非空(不能成立)问题，转化为最值问题解决.

(2)本题分离参数m，利用绝对值不等式的性质求解，避免分类讨论，优化了解题过程.

【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.

(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围.

基础巩固题组

(建议用时：50分钟)

1.(1)求不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集；

(2)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为3(1)，求a的值.

2.已知函数f(x)＝|ax－2|.

(1)当a＝2时，解不等式f(x)>x＋1；

(2)若关于x的不等式f(x)＋f(－x)<m(1)有实数解，求m的取值范围.

3.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

4.(2018·石家庄三模)在平面直角坐标系中，定义点P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)之间的“直角距离”为L(P，Q)＝|x₁－x₂|＋|y₁－y₂|，已知A(x，1)，B(1，2)，C(5，2)三点.

(1)若L(A，B)>L(A，C)，求x的取值范围；

(2)当x∈R时，不等式L(A，B)≤t＋L(A，C)恒成立，求t的最小值.

5.设函数f(x)＝x＋1(1)＋|x|(x∈R)的最小值为a.

(1)求a；

(2)已知两个正数m，n满足m²＋n²＝a，求m(1)＋n(1)的最小值.