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3.1.2　指数函数（2）

教学目标：

1．进一步理解指数函数的性质；

2．能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题；

教学重点：

指数函数的性质的应用；

教学难点：

指数函数图象的平移变换．

教学过程：

一、情境创设

1．复习指数函数的概念、图象和性质

练习：函数y＝a^x(a＞0且a≠1)的定义域是_____，值域是______，函数图象所过的定点坐标为          ．若a＞1，则当x＞0时，y   1；而当x＜0时，y   1．若0＜a＜1，则当x＞0时，y   1；而当x＜0时，y   1．  

2．情境问题：指数函数的性质除了比较大小，还有什么作用呢？我们知道对任意的a＞0且a≠1，函数y＝a^x的图象恒过(0，1)，那么对任意的a＞0且a≠1，函数y＝a^2x1的图象恒过哪一个定点呢？

二、数学应用与建构

例1　解不等式：

（1）；                   （2）；

（3）；                  （4）．

小结：解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样，是指数性质的运用，关键是底数所在的范围．

例2　说明下列函数的图象与指数函数y＝2^x的图象的关系，并画出它们的示意图：

（1）；  （2）；      （3）；  （4）．

小结：指数函数的平移规律：y＝f(x)左右平移Þ y＝f(x＋k)(当k＞0时，向左平移，反之向右平移)，上下平移Þ y＝f(x)＋h(当h＞0时，向上平移，反之向下平移)．

练习：

（1）将函数f (x)＝3^x的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，可以得到函数                  的图象．

（2）将函数f (x)＝3^x的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可以得到函数                 的图象．

（3）将函数图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得函数的解析式是                ．

（4）对任意的a＞0且a≠1，函数y＝a^2x1的图象恒过的定点的坐标是        ．函数y＝a^2x－1的图象恒过的定点的坐标是        ．

小结：指数函数的定点往往是解决问题的突破口！定点与单调性相结合，就可以构造出函数的简图，从而许多问题就可以找到解决的突破口．

（5）如何利用函数f(x)＝2^x的图象，作出函数y＝2^x和y＝2^|x2|的图象？

（6）如何利用函数f(x)＝2^x的图象，作出函数y＝|2^x－1|的图象？

小结：函数图象的对称变换规律．

例3　已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且x＜0时，f(x)＝1－2^x，试画出此函数的图象．

例4　求函数的最小值以及取得最小值时的x值．

小结：复合函数常常需要换元来求解其最值．

练习：

（1）函数y＝a^x在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于       ；

（2）函数y＝2^x的值域为       ；

（3）设a＞0且a≠1，如果y＝a^2x＋2a^x－1在[－1，1]上的最大值为14，求a的值；

（4）当x＞0时，函数f(x)＝(a²－1)^x的值总大于1，求实数a的取值范围．

三、小结

1．指数函数的性质及应用；

2．指数型函数的定点问题；

3．指数型函数的草图及其变换规律．

四、作业：

课本P71-11，12，15题．

五、课后探究

（1）函数f(x)的定义域为(0，1)，则函数的定义域为       ．

（2）对于任意的x₁，x₂ÎR ，若函数f(x)＝2^x ，试比较的大小．