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直线的一般式方程

2．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点)

3．能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化．(难点、易混点)

[基础·初探]

教材整理1　直线方程的两点式和截距式

阅读教材P₉₅～P₉₆“例4”以上部分，完成下列问题．

一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程(　　)

A．可以写成两点式或截距式

B．可以写成两点式或斜截式或点斜式

C．可以写成点斜式或截距式

D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式

【解析】　由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式，故选B.

【答案】　B

教材整理2　线段的中点坐标公式

阅读教材P₉₆“例4”至P₉₇“练习”以上部分，完成下列问题．

若点P₁，P₂的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，设P(x，y)是线段P₁P₂的中点，则

已知A(1,2)及AB的中点(2,3)，则B点的坐标是________．

【解析】　设B(x，y)，则∴，即B(3,4)．

【答案】　(3,4)

教材整理3　直线的一般式方程

阅读教材P₉₇“练习”以下至P₉₉“练习”以上部分，完成下列问题．

1．定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．

2．斜率：直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，当B≠0时，其斜率是－，在y轴上的截距是－.当B＝0时，这条直线垂直于x轴，不存在斜率．

直线3x－2y＝4的截距式方程是(　　)

A.－＝1　　　　　　　             B.－＝4

C.－＝1                                    D.＋＝1

【解析】　将3x－2y＝4化为＋＝1即得．

【答案】　D

[小组合作型]

　在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，

(1)求BC所在直线的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程．

【精彩点拨】　(1)由两点式直接求BC所在直线的方程；

(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．

【自主解答】　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，∴由两点式得＝，

即2x＋5y＋10＝0.

故BC所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0.

(2)设BC的中点为M(x₀，y₀)，

则x₀＝＝，

y₀＝＝－3.

∴M，

又BC边上的中线经过点A(－3,2)．

∴由两点式得＝，

即10x＋11y＋8＝0.

故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.

求直线的两点式方程的策略以及注意点

(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．

(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．

[再练一题]

1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________；

(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.

【解析】　(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.

(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0.又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.

【答案】　(1)x＝2　(2)－2

　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程.

【精彩点拨】　解此题可以利用两种方法，法一：利用截距式，分三种情况，截距相等不为零，截距互为相反数不为零，截距均为零，法二：利用点斜式，然后利用截距的绝对值相等求斜率．

【自主解答】　法一　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.

①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.

∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，

若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.

若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.

②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，

∴直线的方程为3x＋4y＝0.

综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.

法二　设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，

令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.

又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，

∴|－4k－3|＝，

解得k＝1或k＝－1或k＝－.

∴所求的直线方程为

x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.

用截距式方程解决问题的优点及注意事项

1．由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．

2．在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．

3．但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．

[再练一题]

2．求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．

【解】　设直线的两截距都是a，则有

①当a＝0时，直线为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝，∴l：3x－2y＝0；

②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，

把P(2,3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5.

∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.

[探究共研型]

探究1　已知直线l过点(2,0)，(0,3)，能否写出直线l的方程的五种形式？

【提示】　能．直线l的斜率k＝＝－，点斜式方程y－0＝－(x－2)；斜截式方程y＝－x＋3；两点式方程＝；截距式方程＋＝1，一般式方程3x＋2y－6＝0.

探究2　直线的一般式方程与其他形式比较，有什么优点？

【提示】　坐标平面内的任何一条直线，都可以用一般式表示，而其他形式都有一定的局限性．

探究3　当A＝0，或B＝0，或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？

【提示】　(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．

(2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．

(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．

　(1)已知直线l₁：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l₂：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；

(2)当a为何值时，直线l₁：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l₂：(a－1)x＋(＋3)y＋2＝0互相垂直？

【精彩点拨】　解答本题可以从两直线的位置关系与斜率的对应关系入手，也可以根据斜率关系求出参数值后，代入验证．

【自主解答】　(1)法一：由l₁：2x＋(m＋1)y＋4＝0，

l₂：mx＋3y－2＝0知：

①当m＝0时，显然l₁与l₂不平行．

②当m≠0时，l₁∥l₂，需＝≠.

解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.

法二：令2×3＝m(m＋1)，

解得m＝－3或m＝2.

当m＝－3时，l₁：x－y＋2＝0，l₂：3x－3y＋2＝0，

显然l₁与l₂不重合，∴l₁∥l₂.

同理当m＝2时，l₁：2x＋3y＋4＝0，l₂：2x＋3y－2＝0，

显然l₁与l₂不重合，∴l₁∥l₂.

∴m的值为2或－3.

(2)法一：由题意知，直线l₁⊥l₂.

①若1－a＝0，即a＝1时，直线l₁：3x－1＝0与直线l₂：5y＋2＝0显然垂直．

②若＋3＝0，即a＝－时，直线l₁：x＋5y－2＝0与直线l₂：5y－4＝0不垂直．

③若1－a≠0，且＋3≠0，则直线l₁，l₂的斜率k₁，k₂都存在，k₁＝－，k₂＝－.

当l₁⊥l₂时，k₁·k₂＝－1，

即·＝－1，

∴a＝－1.

综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l₁⊥l₂.

法二：由题意知直线l₁⊥l₂.

∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(＋3)＝0，

解得a＝±1，

将a＝±1代入方程，均满足题意．

故当a＝1或a＝－1时，直线l₁⊥l₂.

(1)利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略

直线l₁：A₁x＋B₁y＋C₁＝0，直线l₂∶A₂x＋B₂y＋C₂＝0，

①若l₁∥l₂⇔A₁B₂－A₂B₁＝0且B₂－B₁≠0(或A₂－A₁≠0).

②若l₁⊥l₂⇔A₂＋B₁B₂＝0.

(2)与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法

①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C).

②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.)

[再练一题]

3．已知两直线方程l₁：mx＋2y＋8＝0和l₂：x＋my＋3＝0，当m为何值时：(1)两直线互相平行？(2)两直线互相垂直？

【解】　(1)当m＝0时，l₁与l₂显然不平行．

当m≠0时，l₁的斜率k₁＝－，

在y轴上的截距b₁＝－4，

l₂的斜率k₂＝－，在y轴上的截距b₂＝－.

∵l₁∥l₂，∴k₁＝k₂，且b₁≠b₂，

1．过点A(3,0)和B(2,1)的直线方程为(　　)

A．x＋y－3＝0　　　　　　          B．x－y－3＝0

C．x＋y＋3＝0                                   D．x－y＋3＝0

【解析】　由两点式方程得＝，整理得x＋y－3＝0.

【答案】　A

2．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(　　)

A.＋＝1                                         B.＋＝1

C.－＝1                                         D.－＝1

【解析】　因为由点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为＋＝1.

【答案】　C

3．过点A(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________.

【解析】　由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，

将点A(－1,3)代入，可得m＝7，

所以所求直线的方程为x－2y＋7＝0.

【答案】　x－2y＋7＝0

4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l₁：x－2y－1＝0和直线l₂：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为__________．

【解析】　由于l₁∥l₂，所以1×(－a)－(－2)×2＝0且－2×(－a)－(－a)×(－1)≠0，得a＝4.

【答案】　4

5．求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．

【解】　设直线l的方程为＋＝1，

由题意∴4b＋2a＝ab，

即4(12－a)＋2a＝a(12－a)，

∴a²－14a＋48＝0，

解得a＝6或a＝8.

因此或

∴所求直线l的方程为x＋y－6＝0或x＋2y－8＝0.