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一、教学内容分析

在本节课之前，已经学习了函数概念与性质，研究并掌握了部分基本初等函数，接下来就要研究函数的应用、函数的应用，教材分三步来展开，第一步，建立一般方程与相应的函数的本质联系、第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，进一步体现函数与方程的关系、第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系、

二、教学目标

（1）经历函数零点概念生成过程，理解函数的零点与方程的根之间的本质联系；

（2）经历零点存在性定理的发现过程，理解零点存在定理，会判断函数在某区间内是否有零点；

（3）积极培养学生良好的学习习惯，提升数学核心素养、

教学重点、难点

教学重点：零点的概念及零点存在性的判定、

教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法、

三、学习者特征分析

学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的、再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题、这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础、但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点、加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂、因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系、

四、教学过程

1、指导学生进行课前学习

预习教材，完成以下习题：

1、零点：使                 的实数、

2、方程有实数根函数的图像与       有交点函数有       、

3、函数零点存在结论：

如果函数的图象在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在             ，使得                ，这个也就是方程的根、

4、已知某函数的图象如图所示，则函数有零点的区间大致是（   ）　

A、(0，0.5)    B、(0.5，1)    C、(1，1.5)       D、(1.5，2)

5、已知有一个零点为2，则的值是___    _______、

2、指导学生进行课堂学习

（1）方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索

问题1：解方程（比赛）：①6x－1=0 ；②3x²＋6x－1=0 、

再比赛解3x³＋6x－1=0

第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：教师介绍说一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如3x⁵＋6x－1=0  紧接着介绍阿贝尔（挪威）定理（五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法），伽罗瓦（法国）的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二分法引入课题、

问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图1

①方程与函数

②方程与函数

③方程与函数

图1

 [师生互动]

师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念、

零点概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点、

师：填表格

生：经过独立思考，填完表格

师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关系？

生：经过观察表格，得出第一个结论

师再问：根据概念，函数y＝f（x）的零点与函数y＝f（x）的图象与x轴交点有什么关系

生：经过观察图像与x轴交点完成解答，得出第二个结论

师：概括总结前两个结论（请学生总结）、

1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数、例如函数的零点为x =-1,3

2）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标、

3）方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点、

师：引导学生仔细体会上述结论、

再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？

生：可以解方程而得到（代数法）；

可以利用函数的图象找出零点、（几何法）

问题3：是不是所有的二次函数都有零点？

师：仅提出问题，不须做任何提示、

生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论、

二次函数的零点：看△

１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点、

２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点、

３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点、

第一阶段设计意图

本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路，进而培养学生归纳总结能力、

（2）零点存在性的探索

[师生互动]

师：要求生用连续不断的几条曲线连接如图2中A、B两点，观察所画曲线与直线l的相交情况，由两个学生上台板书：

    、A

 a                              b l

、B

                                 图2

生：两个学生画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交、

师：再用连续不断的几条函数曲线连接如图A、B两点，引导学生观察所画曲线与直线l的相交情况，说明连接A、B两点的函数曲线交点必在区间 (a，b) 内、

生：观察下面函数f（x）＝0的图象（如图5）并回答：

图5

①区间[a，b]上______(有/无)零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞）、

②区间[b，c]上______(有/无)零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞）、

③区间[c，d]上______(有/无)零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞）、

师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系、

生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论、

一般地，我们有：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c ∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根、

第二阶段设计意图：

教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养归纳总结能力和逻辑思维、

（3）例范研究

例1.已知函数f（x）=－3x⁵－6x＋1有如下对应值表：

函数y＝f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？

探究1：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内没有零点吗?

探究2：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只一个零点？

探究3：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？

探究4：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？

图3（反例）

师：总结两个条件：

1）函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；

2）在区间[a，b]上有f（a）·f（b）<0、

一个结论：函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点、

补充：什么时候只有一个零点？

（观察得出）函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调时只有一个零点、

例2、求函数的零点个数、问题：

1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

第三阶段设计意图：

教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用,应用例1，例2加深对定理的理解

（4）练习尝试(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)

1、求函数，并画出它的大致图象、

2、利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1）；（2）；

3、利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：

（1）；（2）；

[师生互动]

师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用、

生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解做准备、

第四阶段设计意图：利用练习巩固新知识，加深理解，为用二分法求方程的近似解做准备、

（5）探索研究(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)

讨论：请大家给方程的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？

[师生互动]

师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性、也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学习潜能和热情、老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况、

生：分组讨论，各抒己见，在探究学习中得到数学能力的提高、

第五阶段设计意图：

一是为用二分法求方程的近似解做准备、

二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的、

（6）课堂小结：

①零点概念；

②零点存在性的判断；

③零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间、

（7）作业回馈

教材P₁₀₈习题3、1（A组）第1、2题；

思考：总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗？

3、指导学生进行课后学习

通过学生的作业反馈，重点辅导没有落实的课标要求、

六、教学评价设计

让学生先解方程产生疑问引入课题；引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念；如何并根据函数零点的意义求零点；然后探索零点的存在性，最后范例研究进行教学、设计中体现了师生主动参与体验的有机结合，激发了学生探索新知的兴趣，重点突出，容量适中，由浅入深，环环相扣、整个教学过程教师只是指导、点评，充分展示知识发生、发展的过程，由学生自主建构，在此过程中获得对知识的亲身体验，把教学的主动权给了学生，鼓励学生自主探索、研究性学习，使学生成为真正意义上的学习主人。

七、教学板书

方程的根与函数的零点

（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点。

（2）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。

（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。