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一、教材分析

“余弦定理”是高中数学的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

二、教学目标

1、了解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理的两种表示形式；

2、能利用余弦定理解三角形，并判断三角形的形状；

3、培养推理探索数学规律和归纳总结的思维能力。

三、学情分析

在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上，教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发学生的学习兴趣，引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时，学生可能会遇到证明思路上的困难，教师可以适当的点拨。

四、教学过程

教师活动

学生活动

设计意图

教师提问

1、前面我们学习了正弦定理，请思考正弦定理能够帮助我们解决三角形中的什么问题？

2、在“2角1边”中，边是对边还是邻边？

3、在“2边1角”问题中，角是对角还是夹角？

4、针对“2边1夹角”的问题，正弦定理无法解决，但已知“2边1夹角”的三角形利用初中的知识是确定的吗？如果是确定的，请同学们思考：在中，已知边长,试求边长

回答1：“2角1边”和“2边1角”问题。

回答2：对边和邻边都可以。

回答3：若是对角，比如知道，由正弦定理可先求，再求和边长。若是夹角，如果知道，用正弦定理似乎求解不了。

回答4：确定，因为根据初中知识“边角边”可以判定三角形全等。

复习旧知，有效的帮助学生梳理解三角形的几个问题，又为引入新知作好铺垫。

教师通过设问将自身的主导作用转变为学生学习的引路人。

启发学生从原有认知结构中找出新知的生长点，利用旧知获取新知

问题一：若，边长是否能求？能不能用向量方法证明呢？

（教师引导：勾股定理是边的关系，可由向量的数量积转化得到）

设，，因为边的平方等于对应向量的平方。由,得

即（教师板演）

问题二：若对于任意的三角形，上述的推导过程会发生怎样的变化？结果会是什么形式？

因为，所以向量也不定是。因此

即

（教师顺应学生的探究思路给予适当的提示、点拨、启发）

勾股定理可以看做是上式的特殊情况。上式也可以看做是勾股定理的推广。

问题三：回顾刚才解决的问题，我们很容易得到结论：在中，则有还有其他类似形式的等式吗？

总结还可以得出

用语言文字表述为：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

这个结论揭示了任意三角形三边与其中一角的余弦关系，我们称它为“余弦定理”。（教师板演课题）

问题四：我们刚刚认识了余弦定理这个新朋友，我们看看它有什么特征？

1、从结构上看三个公式中；

2、勾股定理可以看做是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广。

问题四：我们为什么要学习余弦定理，它可以解决什么问题？

1、已知三角形的两边及夹角，可求出第三边

2、已知三角形的三边，可求角

进一步得出余弦定理公式的变形（教师板演）

学生回答问题一:

若,就是勾股定理。

学生在教师的引导下完成证明。

学生分小组讨论，并发表自己的看法，小组内选取代表进行展示。

学生很容易根据形式结构的特点得出其他两个公式

学生记忆公式

学生根据公式的特点回答问题，并记忆公式的变形。

通过问题的设置引导学生逐步深入的进行探讨．

通过分组讨论，

加强学生之间的交流与合作，充分发挥学生学习的主动性．

培养学生由特殊到一般的解决问题的方法，以及归纳、抽象概括的能力．

培养学生积极动脑，认真思考，踊跃发言的习惯，让学生真正参与课堂的教学，主动探究新知的形成过程，并能用简洁准确的语言将自己的想法表达出来。

引导学生观察、分析公式的特征和联系，加深对公式的记忆。

学生观察，思考，让学生感受到发现的乐趣。

例1在中，已知，求边长。

分析：已知两边及其夹角，故直接选取余弦定理解决。

例2在中，已知，求

的最大内角。

分析：已知三边求角，故选取变形公式，而且明确大边对大角，求角C。

例3在中，已知，求边长。

分析：法一：已知两边及对角，可以选取正弦定理先求角A，再由,利用 或者

法二：利用

求解。

学生认真阅读题目，理解题意，完成解答。学生板演例1和例2的过程

因为是新课的学习，难度设置较低，旨在让学生初步学会运用余弦定理解决问题。3个例题包含3种情形，并让学生总结思考“利用余弦定理可以解决哪些三角形问题；对于例3要视具体问题选择正弦或余弦定理解决。

1、在中，已知，求边长。

2、在中，若，则

学生练习．

根据课上的时间灵活安排，若时间充裕让学生自主完成，通过练习进一步巩固所学的知识．

引导学生回顾本节课所学的知识及数学思想方法

知识上：余弦定理的推导方法及余弦定理应用

思想方法上：

1、类比思想方法

2、特殊到一般的研究方法

学生交流这节课的收获．

通过小结使学生加强对知识的记忆，加深对数学思想方法的理解，养成总结的好习惯．

在例3中既可以用正弦定理也可以用余弦定理，那么正弦定理和余弦定理是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考。

学生课后思考

加深对正弦定理和余弦定理的理解

五、教学反思

1、注重公式定理形成的过程

公式是对一类事物的普遍规律的符号表达，所以一定要交待公式的产生背景，明确公式的条件和结论，培养推理能力，同时也是加强公式记忆的过程。因此公式的推导应在教师的指导下由学生完成，教师在推理难点或隐蔽条件等方面加强指导。这节课证明过程直接引导学生利用平面向量的知识解决，是因为考虑到学生刚完成平面向量的学习，这样承前启后的安排也较自然。

2、尝试合作学习

学习需要老师的引导，学习也需要同伴的帮助，有时同伴的帮助显得更为重要。同伴间的互相启发、互相评价、互相促进，其教学效果更为显著。

3、根据学生情况设计教学内容

教学内容的选取既要有利于教学目标的实现，也要考虑学生的知识基础和认知特点。在这个教学设计中，考虑到学生的基础较差，学习主动性不强，采用了教师启发引导与学生自主探究相结合的方式，既发挥了学生的主动性，又体现了教师的有效引导。这样的教学内容设计层次合理，有助于教学目标的落实。

4、公式、定理的学习不能回避记忆

公式、定理的学习是离不开记忆的，牢固准确的记忆是灵活运用公式、定理的前提和基础。但是，对于公式、定理的学习而言，没有理解的记忆就是简单机械的记忆，是没有价值的。所以课上重视公式结构的分析和记忆。

六、板书设计

余弦定理

变形：