几类不同增长的函数模型(1)

  【学习目标】

1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异‘提升学生素养’；

2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，通过图形直观对比；

3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题，图形中提升理解能力.

一例题

例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

反思：

① 在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？

② 根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.

例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：

；；.

问：其中哪个模型能符合公司的要求？

反思：

① 此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？

② 根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？

例3幂函数、指数函数、对数函数在区间上的单调性如何？增长有差异吗？

计算：函数，，，试计算：

由表中的数据，你能得到什么结论？

思考：大小关系是如何的？增长差异？

二、练习

1. 如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：(t≥0，a>0且a≠1)．有以下叙述

第4个月时，剩留量就会低于；

每月减少的有害物质量都相等；

若剩留量为所经过的时间分别是，则.

 其中所有正确的叙述是                .

2. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（    ）.

A．    B. y=2   C. y=2   D. y=2x

3. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（    ）.

A. 一次函数      B. 二次函数

C. 指数型函数    D. 对数型函数

4 一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为（     ）.

A. y=20-2x （x≤10）     B. y=20-2x （x<10）                           C. y=20-2x （5≤x≤10）     D. y=20-2x（5<x<10）

5. 某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y与投放市场的月数x之间的关系可写成          .

6. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有          台计算机被感染. （用式子表示）

7. 某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量y与时间x的函数图象大致是（     ）.

8. 下列函数中随增大而增大速度最快的是（    ）.

A．    B．  

C．       D．

9. 当的大小关系是      .

10. 某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产，如外购，每个价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点是____件(即生产多少件以上自产合算)

11.某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价20%销售. 这样，仍可获得25%的纯利. 求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系.

12. 经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前个月，对某种商品需求总量 (万件)近似地满足关系

．

写出明年第个月这种商品需求量 (万件)与月份的函数关系式.

三、学习小结

1. 两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；

2. 几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数；

3. 应用建模（函数模型）；

解决应用题的一般程序：

① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

解模：求解数学模型，得出数学结论；

④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意