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1.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin x的图象进行交换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象.(难点)
2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图；能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.(重点)
3.求函数解析式时φ值的确定.(易错点)

[基础·初探]
教材整理1　φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响
阅读教材P49～P50“探索二”以上内容，完成下列问题.
y＝sin xy＝sin(x＋φ).

将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式是________.
【解析】　将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式是y＝sin.
【答案】　y＝sin
教材整理2　ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
阅读教材P50“探索二”以下至P51第六行以上内容，完成下列问题.
y＝sin(x＋φ)ω>1时，所有点的横坐标缩短到原来,0<ω<1时，所有点的横坐标伸长到原来倍
y＝sin(ωx＋φ).

要得到函数y＝sin 2x的图象，只需将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标________.
【解析】　要得到函数y＝sin 2x的图象，只需将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍.
【答案】　缩短为原来的倍
教材整理3　A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
阅读教材P51第六行以下至P53“例1”以上内容，完成下列问题.
1.y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ).
2.正弦曲线到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程：
y＝sin x的图象y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍所得到的图象的解析式为y＝sin x.(　　)
(2)把y＝sin的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，所得图象的解析式为y＝sin.(　　)
【答案】　(1)×　(2)×
教材整理4　A，ω，φ的物理意义
阅读教材P54“例2”以上内容，完成下列问题.
在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义.
振幅
A
它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离

周期
T＝
它是物体往复运动一次所需要的时间

频率
f＝＝
它是单位时间内往复运动的次数

相位
ωx＋φ
其中φ为初相

已知函数y＝3sin，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是________，________，________.
【解析】　由函数y＝3sin的解析式知，振幅为3，最小正周期为T＝＝10π，初相为.
【答案】　10π　3　

[小组合作型]

“五点法”作函数图象及相关问题
　作出函数y＝3sin，x∈R的简图，并说明它与y＝sin x的图象之间的关系. 【导学号：00680024】
【精彩点拨】　列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令2x＋取0，，π，，2π即可找到五点.
【自主解答】　列表：

x
－

2x＋
0

π

2π

3sin
0
3
0
－3
0

描点画图，如图：

利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y＝3sin，x∈R的简图.
从图可以看出，y＝3sin的图象是用下面方法得到的.
法一：，
y＝sin x的图象
y＝sin的图象
y＝sin的图象
y＝3sin的图象.
法二：，
y＝sin x的图象
y＝sin 2x的图象y＝sin＝sin的图象y＝3sin的图象.

1.用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.
2.图象变换方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移.表面上看，两种变换方法中的平移|φ|和是不同的，但由于平移时的对象已有变化，所以得到的结果都是一致的.

[再练一题]
1.作出函数y＝sin在x∈上的图象.
【解】　令X＝2x－，列表如下：
X
0

π

2π

x

y
0

0
－
0

描点连线得图象如图所示.

三角函数图象之间的变换
　(1)要得到y＝3sin的图象，只需将y＝3sin 2x的图象(　　)
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
(2)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，则所得图象的解析式为(　　)
A.y＝sin　　　　 B.y＝－sin 2x
C.y＝cos 2x  D.y＝sin
(3)已知函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和y＝2sin x的图象相同，则函数y＝f(x)的解析式为________.
【精彩点拨】　(1)可利用左右平移时“左加右减”，自变量“x”的加减来判断；
(2)可利用横坐标伸缩到(ω>0)倍时，解析式中“x”换为“ωx”；
(3)可利用纵坐标变为A(A>0)倍时，解析式中在原表达式前应乘以A.
【自主解答】　(1)y＝3sin 2x的图象y＝3sin 2的图象，即y＝3sin的图象.
(2)由题意y＝sin x的图象
y＝sin 2x的图象
y＝sin 2的图象，
即y＝sin＝cos 2x的图象.
(3)y＝2sin x的图象
y＝2siny＝2siny＝sin的图象，即f(x)＝－cos 2x的图象.
【答案】　(1)C　(2)C　(3)f(x)＝－cos 2x

三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略：
(1)确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.

[再练一题]
2.为了得到函数y＝sin，x∈R的图象，只需把函数y＝sin x，x∈R的图象上所有的点：
①向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
②向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
③向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；
④向右平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变).
其中正确的是________.
【解析】　y＝sin xy＝sin
y＝sin.
【答案】　③

求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
　如图1­5­1所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，确定其中一个函数解析式.

图1­5­1

【精彩点拨】　解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图象所过的点确定φ.
【自主解答】　法一：由图象知振幅A＝3.
又T＝－＝π，
∴ω＝＝2.又过点，
则得sin＝0，得φ＝，
∴y＝3sin.
法二：由图象知A＝3，且图象过点和，
根据五点作图法原理，有
解得ω＝2，φ＝，∴y＝3sin.
法三：由图象，知A＝3，T＝π，又图象过点A，
∴所求图象由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位得到，
∴y＝3sin 2，即y＝3sin.

确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在升区间上还是在下降区间上).
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.

[再练一题]
3.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的部分函数图象如图1­5­2所示.求此函数的解析式.

图1­5­2
【解】　由图象可知A＝2，＝－＝1，∴T＝2，
∴T＝＝2，∴ω＝π，
∴y＝2sin(πx＋φ).
代入得2sin＝2，
∴sin＝1.∵|φ|＜，∴φ＝，
∴y＝2sin.
[探究共研型]

函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的对称性
探究1　如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程？
【提示】　与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ω＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴.
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z).
探究2　如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心？
【提示】　与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点.
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称；
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称.
　设函数y＝cos πx的图象位于y轴右侧的所有对称中心从左依次为A1，A2，…，An，…，则A1 009的坐标是________.
【精彩点拨】　利用y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心的坐标即可解出.
【尝试解答】　因为函数y＝cos ωx的图象的对称中心是点(k∈Z)，所以y＝cos πx的图象的对称中心为(2k＋1,0)(k∈Z)，所以A1(1,0)，A2(3,0)，…，An(2(n－1)＋1,0)，…，故A1 009的坐标为(2 017,0).
【答案】　(2 017,0)

对于y＝Acosωx＋φ的图象的对称轴可由ωx＋φ＝kπk∈Z解出，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ±\f(π,2)k∈Z解出.

[再练一题]
4.函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
【解析】　f＝3sin＝3sin＝－.
f＝3sin＝0，
故①错，②正确.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，故③正确.
函数y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝3sin 2＝3sin的图象，故④错.
【答案】　②③

1.函数y＝3sin的振幅和周期分别为(　　)
A.3,4  B.3， 
C.，4  D.，3
【解析】　由于函数y＝3sin，∴振幅是3，周期T＝＝4.
【答案】　A
2.将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为(　　) 【导学号：00680025】
A.y＝sin  B.y＝sin
C.y＝sinx  D.y＝sin
【解析】　函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y＝sin的图象，再将此图象向左平移个单位，得y＝sin＝sin的图象，选D.
【答案】　D
3.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是，初相是，则这个函数的表达式是(　　)
A.y＝3sin  B.y＝3sin
C.y＝3sin  D.y＝3sin
【解析】　由已知得A＝3，T＝，φ＝，ω＝＝7，所以y＝3sin.故选B.
【答案】　B
4.函数y＝2sin图象的一条对称轴是____.(填序号)　
①x＝－；②x＝0；③x＝；④x＝－.
【解析】　由正弦函数对称轴可知.
x＋＝kπ＋，k∈Z，x＝kπ＋，k∈Z，k＝0时，x＝.
【答案】　③
5.已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 【导学号：70512016】
【解】　(1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z；由2x－＝kπ，k∈Z解得对称中心是，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z解得单调递增区间是，k∈Z；由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得单调递减区间是，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取最大值为2.