导数的几何意义

教学目标：

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2．理解曲线的切线的概念；

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 

教学难点：导数的几何意义．

教学过程：

一．创设情景

（一）平均变化率、割线的斜率

（二）瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数 的几何意义是什么呢？

二．新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当 沿着曲线 趋近于点 时，割线 的变化趋势是什么？

我们发现,当点 沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：⑴割线 的斜率 与切线PT的斜率 有什么关系？

      ⑵切线PT的斜率 为多少？

容易知道，割线 的斜率是 ,当点 沿着曲线无限接近点P时， 无限趋近于切线PT的斜率 ，即 

说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

         ②切线斜率的本质—函数在 处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.

（二）导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点 处的切线的斜率，

即  

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标;

②求出函数在点 处的变化率  ，得到曲线在点 的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

（二）导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,  是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作： 或 ，

即:  

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数 在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数      

(3）函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。

三．典例分析

例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.

（2）求函数y=3x2在点 处的导数.

解：（1） ,

所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为 即 

（2）因为 

所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为 即 

（2）求函数f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 

解： 

例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

 ，根据图像，请描述、比较曲线 在 、 、 附近的变化情况．

解：我们用曲线 在 、 、 处的切线，刻画曲线 在上述三个时刻附近的变化情况．

（1） 当 时，曲线 在 处的切线 平行于 轴，所以，在 附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

（2） 当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以，在 附近曲线下降，即函数 在 附近单调递减．

（3） 当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以，在 附近曲线下降，即函数 在 附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线 的倾斜程度小于直线 的倾斜程度，这说明曲线在 附近比在 附近下降的缓慢．

例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度 (单位： )随时间 （单位： ）变化的图象．根据图像，估计 时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到 ）．

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线 在此点处的切线的斜率．

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作 处的切线，并在切线上去两点，如 ， ，则它的斜率为： 

所以     

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

0.2 0.4 0.6 0.8

药物浓度瞬时变化率 

0.4 0 -0.7 -1.4

四．课堂练习

1．求曲线y=f(x)=x3在点 处的切线；

2．求曲线 在点 处的切线．

五．回顾总结

1．曲线的切线及切线的斜率；

2．导数的几何意义

六．布置作业

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