数与形教学设计

厂店小学   时贵菊

教学内容：教科书第107-108页的例1、例2，以及相应的练习题。
教学目标：
知识与技能：
1．重视“数”“形”之间的联系，找到解题规律。
2.引导学生探究算式左边的加数与大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数的关系，发现“数”“形”之间的联系，找到其中的规律，使学生在体验用形表示数的直观性的同时，学会应用规律解决问题。
过程与方法：
1.借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。
2.使学生在初步了解、运用“数形结合”思想方法的同时，体验到数学的极限思想。
情感态度价值观：
在巩固练习时，充分利用教材习题，引导学生在解决问题时能举一反三地运用所学，使学生的解题能力得到培养。
教学重难点：
重点：借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。
难点：体验到数学的极限思想。
教具准备：
教具：PPT课件
学具：完全相同的小正方形纸卡若干

同学们，在上课之前我们一起来个热身小游戏：老师要招募3位咱班的计算小能手和一位小裁判，三位小选手和老师来比一比谁算得又对又快！

小裁判的职责有二： 1、 给参赛选手读题。

                   2、 用计算器验证参赛选手的计算结果是否正确。

（出示PPT2）

有的同学说了，老师这个游戏不公平，题目是你出的，你当然算的快了，那好，你们来出题，我来算，不过老师有一个小要求，你出的题得和我刚出的题相类似，只要你满足这个条件，老师保证3秒出答案。那老师出的题有什么规律？（

每个算式都从几开始

每个加数都是什么数

每两个相邻加数都差几）（课件PPT三）

学生出题PPT4

我算的快的秘方是......真的想知道，秘密就在这节课中，我相信在这节课中只要同学们细心观察，认真思考，寻找规律，你们也能像我这样很快的算出这类有规律题目的答案，来我们一起探究吧

一、探究新知

1．介绍平方数

为了帮助大家揭开这类题目的秘密，老师请他来帮忙，看他是谁？（ppt5）

生：正方形

师：完整的说就是——几个？

生：1个正方形

师：我们继续来观察，这里面有几个呢？这个呢？大家猜一猜下幅图中有几个正方形？(16个)还真是！你们是怎么想到的？谁来说一说？如果让你列式子，你会怎么列？（4x4）理由？4x4他的简单表示形式就是4²

师：也就是说4可以表示这个正方形中每行小正方形的个数，反过来说如果我们知道每行小正方形的个数，这个大正方形所含小正方形的个数就是每行小正方形个数的平方。（顺次说出1²，2²，3²）

师：像1、4、9、16这样的数，他们有一个共同的名字——正方形数，正方形数也叫平方数。

师：谁还能再说出几个平方数吗？

2揭示规律

揭开老师速算神秘面纱的关键时刻到了！下面我们继续探究这四个大正方形之间又有那联系和规律呢，让我们动手摆一摆看看会有什么发现？

我们先摆出一个正方形，在此基础上我们怎样得到第二个正方形？再拿出几个来？怎么放？很好，在摆的过程中，我们发现这个正方形的个数还可以用什么算式表示？（1+3）那刚才这个正方形所含小正方形个数用哪个平方数表示的？也就是说1+3=2²

问题来了？1 .这个大正方形每行小正方形的个数是几？

           2.这里有几个加数？

           3.你有什么发现（这个大正方形中小正方形的个数等于加数个数的平方），同学们真是火眼金睛。发现了第二个与第一个正方形之间的联系。那这个规律适用于第三个和第二个正方形之间吗？我们接着来摆！

在第二个大正方形的基础上怎样摆出第三个正方形?再拿出几个小正方形？那现在小正方形的个数怎么列试计算？(1+3+5),

刚才咱们用哪个平方数来表示的第三个图形中小正方形的个数？3²所以说：（1+3+5=3²

咦！老师有个发现，这里的3身兼两职：  1.每行小正方形的个数

2.算式中加数的个数。）

回顾这两个操作我就有个猜想1+3+5+9=？对不对呢?下面我们自己动手操作来验证我们的猜想是否正确（请同学们利用手中的学具自己摆一摆，一会儿老师要找一位同学来展示你的成果!）

那我们就说，从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。（课件7）

巩固新知：学以致用（课件8、9）

大家的表现真的很棒给你们点赞！！！有的同学说了，老师式子短时我们能一眼看出加数的个数这样计算，确实很快，可是遇到式子特别长的时候我们再一个一个数加数个数，有点费时。嗯确实是个问题！有没有更简单的方法呢？

3简便算法

出示（课件10）利用刚才发现的规律来计算1+3+5+7+9+11=（）这是几的平方？

提问：1 . 1、11分别图中的哪部分？

      2 . 6又代表图中的那部分？

      3 . 1、11、6这三个数之间又有什么样的关系呢？

结论：（最后的数+1）/2=每行小正方形的个数。

这个规律对吗？来，我们来验证一下上课前的比赛

（1+19）/2=10      （ 1+23）/2=12    （1+27）/2=14

看来我们的发现是正确的

4最终建模

通过我们的探究发现：我们只有从1开始，连续奇数的和才能用平方数解决，上课初那两位同学给我出的题你们也能快速解决了吧？

老师在继续往下加，加到113，你还会解决吗？

老师要在往下加，继续加，加到n你还会吗？这个结果等于什么【（1+n）/2】²有了这个公式，我们以后就不怕算式有多长，最后加数有多大了。放学回家你也可以利用这个规律和爸爸妈妈比赛了。

二  从另外方面观察图形并建模

其实刚才的正方形我们还可以换个角度观察，我们会有更多地发现。例如斜着观察，你还可以列出什么样的算式，发现什么样的规律？课件

展示：1+2+1=2²

      1+2+3+2+1=3²

      1+2+3+4+3+2+1=4²

师：边长为n的正方形，图形是什么样的？怎么列式？

师：1+2+3+4+5+6+…+n+…+4+3+2+1=n²

由此可见，当我们遇到复杂数的问题不妨可以借用图形来解决，当然从直观的图形中我们能发现许多数的规律，这就是我们这节课学习的数与形（板书课题）

来我们回顾一下这节课我们所学的内容，我们把数与形结合起来，发现许多我们原来不知道的秘密，通过这节课的学习，我们能深刻体会到：数与形有着什么密切的联系，这正如我国数学家华罗庚所说的：

数与形时少直观，形少数时难入微

数形结合百般好  隔离分家万事休

三拓展知识

你们知道我们这节用到的平方数是由谁最先提出来的吗？是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，他还研究了三角形数、五边形数、六边形数等等的规律，如果大家有兴趣想了解更多，可以上网或阅读有关书籍继续了解，好吗？

师：不止是国外数学家对数形结合有研究有贡献，我国南宋末年的数学家杨辉就提出了著名的杨辉三角。

四分享收获

我们的可以进入尾声，闭上眼睛从大脑里回顾一下这节课我们的进程看看你有什么收获？和大家分享一下吧！